Oi Samuel e Rodrigo,
Uma prova do Lowenheim-Skolem para baixo (LSb) segue do seguinte
resultado (que segue pode ser provado com o principio da
boa-ordenacao): em toda estrutura e todo subconjunto desta estrutura
existe substrutura elementar que contem este subconjunto e tem
cardinal no maximo o cardinal do subconjunto + cardinal da linguagem.
O resultado k.k = k para k cardinal infinito segue de LSb utilizando
uma linguagem com um simbolo de operacao binario e axioma descrevendo
que a interpretacao deste simbolo eh uma funcao bijetora (basta
injetora). Como (sem o axioma da escolha) mostramos que para todo
cardinal infinito I existe outro infinito J > I tal que J.J = J
(exemplo J = 2^{I.\aleph_0} funciona), entao LS b acarreta I.I=I todo
I infinito.
Abracos,
Hugo
Citando sam...@ufba.br:
Oi Rodrigo,
Sim, o argumento original de Tarski pelo que sei era em cima desse
k.k = k mesmo, já tinha ouvido falar disso... As sutilezas aí, têm
aos montes !
Por exemplo, sei que se vc enuncia de uma determinada maneira o
Lowenhein-Skolem, "só ele sozinho" já fica equivalente ao Axioma da
Escolha.
(Achei aqui uma referência para isso, é o verbete de Bell na
enciclopédia de Stanford:
http://plato.stanford.edu/entries/axiom-choice/#AxiChoLog
Tem uma lista de equivalências aí.
No caso, seria o Downward Lowenhein-Skolem que seria equivalente,
pelo visto...)
Assim, quando se juntam "coisas para formar uma equivalência com o
Axioma da Escolha", fica mais interessante juntar coisas que são
sabidamente mais fracas, como BPI e LT, BPI mais algo muito próximo
do Lowenhein-Skolem eu já começo a não perceber onde entrou "o a
mais"...
Até,
[]s Samuel
Citando Rodrigo Freire <freires...@gmail.com>:
Olá Samuel
Interessante seu comentário.
A "parte a mais" no enunciado pode ser identificada com a informação de
cardinalidade adicional. Com esse enuciado você prova que para qualquer
cardinal infinito k, k.k = k e isso é equivalente ao axioma da escolha
(Tarski).
Abraço
Rodrigo
2011/6/29 <sam...@ufba.br>
Olás a todos, Rodrigo e João Marcos em particular,
Interessante, o Teorema da Completude é equivalente ao Teorema do
Ultrafiltro, e aí o que aparece "a mais" (na formulação do Bell-Slomson),
chega na equivalência com Axioma da Escolha...
Isso realmente tem a haver com ultraprodutos, lembro de ter visto durante a
iniciação científica com um aluno daqui da Ufba que o axioma da escolha é,
também, equivalente à conjunção do Teorema do Ultrafiltro com o Teorema de
Lós.
(BPI + LT equivalente a AC, isso é um resultado de Howard dos anos 70,
onde BPI é o Teorema do Ideal Booleano Primo (que é equivalente ao Teorema
do Ultrafiltro) e LT é o Teorema de Lós, segue o link do artigo...
http://www.jstor.org/stable/**2040659<http://www.jstor.org/stable/2040659>
)
É como se o LT fosse "a parte de existir(em) o(s) modelo(s)" no primeiro
parágrafo acima, seria o "a mais"...
Até,
[]s Samuel
PS: Só pra quem for ler o artigo: dentro da discussão do último parágrafo,
algum tempo depois Blass construiu um modelo *sem* ultrafiltros livres. Daí
não tem mesmo como excluir BPI da equivalência AC <--> BPI + LT, já que o
Teorema de Lós é "óbvio" se só existirem ultrafiltros principais...
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