Em sáb., 19 de abr. de 2025 às 19:31, Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > > Em sex., 18 de abr. de 2025 às 22:44, Eric Campos Bastos Guedes > <ebastosgue...@gmail.com> escreveu: > > > > Desafio a demonstrarem o seguinte: > > > > Teorema: existe um real c aproximadamente igual a 2.811321611513 tal que o > > piso (menor inteiro maior ou igual a) do produto de c pelo quadrado do > > fatorial de n (que vou escrever como f(n) = [c(n!)^2]) é um número primo > > para todo natural n = 1, 2, 3, .... > > > > Para n = 1, f(1) = 2 (primo) > > Para n = 2, f(2) = 11 (primo) > > Para n = 3, f(3) = 101 (primo) > > Para n = 4, f(4) = 1619 (primo) > > Para n = 5, f(5) = 40483 (primo) etc > > > > Onde essa lista pode ser estendida indefinidamente, sempre produzindo > > números primos, sendo que f(n) é o menor inteiro maior ou igual ao produto > > do real c pelo quadrado do fatorial de n. > > > > A minha ideia é mostrar tal C como um elemento de uma sequência de > intervalos encaixados. > > Começamos com [c] = 2, ou 2<c<3. > > Com isso, temos (2!)^2=4, e > 2<c<3 > 8<4c<12 > > Podemos escolher [4c]=11. > > Então 11<(2!)^2 c<12. > > Multiplicando por 3^2, temos > > 99 < (3!)^2 c < 108 > > Podemos escolher [(3!)^2 c] = 101 > > 101 < (3!)^2 c < 102 > > 4^2 * 101 < (4!)^2 c < 4^2 * 102 > > 1616 < (4!)^2 c < 1632 > > Podemos escolher [(4!)^2 c] = 1619 > > 1619 < (4!)^2 c < 1620 > > 25*1619 < (5!)^2 c < 25*1620 > > 40475 < (5!)^2 c < 40500 > > Podemos escolher [(5!)^2 c] = 40483 > > 40483 < (5!)^2 c < 40484 > > 36 * 40483 < (6!)^2 c < 36 * 40484 > > 1457388 < (6!)^2 c < 1457424 > > Podemos escolher [(6!)^2 c] = 1457389 (testado via > https://www.dcode.fr/primality-test) > > Até aqui, obtivemos 2.81132137345679012345 < c < 2.81132330246913580246 > > A ideia é: dado o intervalo [A_n, B_n] com A_n < (n!)^2 * c < B_n, > precisamos garantir que [A_n*(n+1)^2, B_n*(n+1)^2] também contenha um > primo dentro. >
Complementando meu próprio e-mail, eu escreveria este problema da forma a seguir: Construa uma sequência f(1), f(2), . . . da seguinte maneira: - f(1) = 2 - para todo N>1, seja P o menor primo maior que (N+1)^2 * f(N); - Se P > (N+1)^2 * (f(N)+1), então f(N+1) não existe e a sequência é finita - Se P < (N+1)^2 * (f(N)+1), então f(N+1) = P (e ainda não sabemos se a sequência é finita ou não). O problema se resume a saber se a sequência é ou não finita. P.S.: joguei na OEIS e nada foi retornado. Você inventou esse problema? > Infelizmente eu não conheço boas estimativas para primos em intervalos... > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
