Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:03, Anderson Torres <[email protected]> escreveu: > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José <[email protected]> > escreveu: > > > > Boa noite! > > Cláudio, > > não consegui nada geométrico. > > O máximo que atingi foi: > > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + > > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. > > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre > > quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes > > e logo I. > > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB. > > Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada. > Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a > geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de > números. > > Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação > geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos > apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de > semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um > quadrilátero cíclico.
Acrescentando mais coisas: se queremos minimizar cot(x) +cot(y) com x+y fixo, isto é equivalente a minimizar tan(90-x)+tan(90-y) com 90-x+90-y fixo. Ou como maximizar tan(x) + tan(y) com x+y fixo. Geometricamente, tangente é cateto oposto dividido por cateto adjacente. Logo uma soma de tangentes com catetos adjacentes iguais equivale a uma soma de catetos opostos! Assim sendo, nosso problema pode ser pensado da seguinte forma: Dados um ponto A e uma reta d fixos, temos que construir duas retas x e y, com ângulo 'alfa' entre elas, ambas passando por A e tais que a distância entre os pontos X e Y, que elas geram ao intersectar d, seja mínima. Daí fica fácil argumentar que a altura por A também tem que ser a bissetriz por A. No fundo do fundo é uma forma de geometrizar a solução trigonométrica. A trigonometria se torna apenas um atalho. Vou formalizar isso mais tarde, com desenhos e tudo. > > Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense > VS geometria paulista: > https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf > > > > > > Saudações, > > PJMS > > > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara > > <[email protected]> escreveu: > >> > >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E > >> que torne o resultado mais intuitivo? > >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados, > >> pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, a/h_a > >> cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo. > >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que > >> P deva ser equidistante dos três. > >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado > >> e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que > >> a/h_a = b/h_b = c/h_c. > >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste > >> caso. > >> > >> > >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco <[email protected]> > >> wrote: > >>> > >>> Olá, Vanderlei. > >>> Por Cauchy-Schwarz, temos > >>> > >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) > >>> > >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a > >>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o > >>> semi-perimetro. > >>> > >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, > >>> ou seja, quando P é o incentro do triângulo > >>> > >>> Abraços, > >>> Matheus > >>> > >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz > >>> <[email protected]> escreveu: > >>>> > >>>> Bom dia! > >>>> > >>>> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. > >>>> Alguém ajuda? > >>>> Muito agradecido! > >>>> > >>>> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as > >>>> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor > >>>> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do > >>>> triângulo ABC. > >>>> > >>>> -- > >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >>>> acredita-se estar livre de perigo. > >>> > >>> > >>> -- > >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >>> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
