Boa noite! Cláudio, não consegui nada geométrico. O máximo que atingi foi: a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes e logo I. Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB.
Saudações, PJMS Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara < [email protected]> escreveu: > Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E > que torne o resultado mais intuitivo? > É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados, > pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, > a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo. > Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que > P deva ser equidistante dos três. > De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado > e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que > a/h_a = b/h_b = c/h_c. > O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste > caso. > > > On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco <[email protected]> > wrote: > >> Olá, Vanderlei. >> Por Cauchy-Schwarz, temos >> >> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) >> >> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a >> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o >> semi-perimetro. >> >> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, >> ou seja, quando P é o incentro do triângulo >> >> Abraços, >> Matheus >> >> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz < >> [email protected]> escreveu: >> >>> Bom dia! >>> >>> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. >>> Alguém ajuda? >>> Muito agradecido! >>> >>> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as >>> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor >>> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do >>> triângulo ABC. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
