Olá, Ralph! Tudo bem? Eu gostei muito da maneira que você indicou na segunda opção de resolução. Olhamos o plano xy "por cima" e calculamos a integral "empilhando" os trapézios em relação ao eixo z. Muito obrigado pela resposta! Abraços! Luiz
Em qua, 12 de fev de 2020 2:27 PM, Ralph Teixeira <[email protected]> escreveu: > Vamos fixar um z (entre 0 e 2) para desenhar a seção horizontal. Como > x+y=z^2 e x+y=2z são duas retas paralelas, a seção horizontal é um trapézio > mais ou menos assim: > > |\ > | \ > | \ > | \ > | \ > \ \ > \____\ > > As retas inclinadas são x+y=z^2, e x+y=2z. A reta vertical é o eixo y > entre z^2 e z, e a horizontal é o eixo x entre z^2 e z. > > Então o problema na sua integral é que nem sempre o x vai de z^2-y até > 2z-y, depende do valor de y! Trace uma vareta horizontal atravessando o > trapézio: > > -- Na parte "de baixo" do trapézio, a vareta fura o trapézio nas duas > retas inclinadas, ou seja, ali temos o x variando de z^2-y até 2z-y que nem > você falou. Mas isso é só na parte de baixo, ou seja, apenas quando 0<y<z^2; > -- Na parte de cima, a vareta fura na reta vertrical e na inclinada, isto > é, 0<x<2z. Isto acontece quando z^2<y<z. > > Ou seja, para resolver isso com uma integral tripla dxdydz, vai ter que > dividi-la em duas: > > Int (0 a 2) Int (0 a z^2) Int (z^2-y a 2z-y) dx dy dz + > + Int (0 a 2) Int (z^2 a z) Int (0 a 2z-y) dx dy dz > > ---///--- > > Outra opção (equivalente ao que o Buffara fez, mas subtraindo no plano > antes de integrar para achar o volume): o trapézio pode ser pensado como a > diferença de dois triângulos retângulos isósceles com vértice na origem -- > um grande tem cateto 2z, o pequeno z^2. Então a área de cada trapézio é: > > [(2z)^2 - (z^2)^2]/2 = 2z^2-z^4/2 > > que, naturalmente, varia com z. Note que, como era de se esperar, a área > dá 0 em z=0 e z=2. > > Agora é só integrar essa área para 0<=z<=2. Ou seja: > > Volume = 2.2^3/3 - 2^5/10 = 16/3 - 16/5 = 32/15. > > Abraço, Ralph. > > > On Wed, Feb 12, 2020 at 9:29 AM Pedro José <[email protected]> wrote: > >> Bom dia! >> Alguém poderia me ajudar e mostrar onde errei os limites? Resolvendo por >> integral tripla, usando f(x,y,z)=1. >> >> Grato, >> PJMS >> >> Em ter, 11 de fev de 2020 13:11, Pedro José <[email protected]> >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> >>> Resolvi por método numérico usando, pelo menos penso eu, os mesmos >>> limites e encontrei 2,1329, muito próximo da resposta. Gostaria que alguém >>> me ajudasse onde errei na integral tripla. >>> Usei z^2-y e 2z-y como os limites para integral em dx. Em seguida, z^2 e >>> 2z para dy e finalmente 0 e 2 para dz. >>> Onde está o erro? >>> Grato, >>> PJMS >>> >>> Em ter, 11 de fev de 2020 12:49, Claudio Buffara < >>> [email protected]> escreveu: >>> >>>> O sólido é a região do 1o octante (todas as coordenadas positivas) >>>> compreendida entre os planos x-z e y-z, acima do plano z = (x+y)/2 e abaixo >>>> da z = raiz(x+y). >>>> A superfície e o plano se intersectam numa reta: >>>> raiz(x+y) = (x+y)/2 ==> x+y = (x+y)^2/4 ==> x+y = 4, contida no plano z >>>> = 2. >>>> >>>> Assim, o volume pode ser dado pela diferença entre duas integrais >>>> duplas, calculadas sobre o domínio D, no plano x-y, dado por x > 0, y > 0 e >>>> x+y = 4. >>>> Volume = Integral(D) raiz(x+y)*dA - Integral(D) (x+y)/2*dA. >>>> >>>> Usando coordenadas cartesianas, a primeira integral fica: >>>> Integral(x=0...4)Integral(y=0...4-x)*raiz(x+y)*dy*dx >>>> = Integral(0...4) (2/3)*(4^(3/2) - x^(3/2))*dx >>>> = Integral(0...4) (16/3 - (2/3)*x^(3/2)) >>>> = 64/3 - (4/15)*4^(5/2) >>>> = 64/3 - 128/15 >>>> = 64/5 >>>> >>>> A segunda integral é: >>>> Integral(x=0...4)Integral(y=0...4-x) (x+y)/2*dy*dx >>>> = Integral(x=0...4) (1/2)*(x*(4-x) + (4-x)^2/2)*dx >>>> = Integral(0...4) (4 - x^2/4)*dx >>>> = 32/3 >>>> >>>> Logo, o volume é 64/5 - 32/3 = 32/15 (se não errei nenhuma conta...) >>>> >>>> []s, >>>> Claudio. >>>> >>>> >>>> On Mon, Feb 3, 2020 at 8:55 PM Luiz Antonio Rodrigues < >>>> [email protected]> wrote: >>>> >>>>> Olá, pessoal! >>>>> Tudo bem? >>>>> Estou tentando resolver o seguinte problema: >>>>> >>>>> Ache o volume da região tridimensional definida por: >>>>> >>>>> z^2<x+y<2*z >>>>> >>>>> Sendo que: >>>>> x>0 e y>0 e z>0 >>>>> >>>>> Com o auxílio de um software eu consegui visualizar o sólido em >>>>> questão. >>>>> Eu calculei o volume do sólido girando em torno do eixo z e dividindo >>>>> o resultado por 4. >>>>> A resposta que eu obtive foi (16*pi)/15, que não está correta. >>>>> Já refiz os cálculos muitas vezes e chego sempre na mesma resposta. >>>>> Alguém pode me ajudar? >>>>> Muito obrigado e um abraço! >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
