Boa noite! Corrigi de orelhada, devido a paridade e a solução (21,23), aue encontrara. Quando dispor de um tempo, tentarei compreender. Mas pelo visto é mais fácil apontar que existe uma infinidade de soluções, do que achá-las propriamente. Não se gera uma fórmula para as soluções. Se compreendi, pelo menos, um pouco da explicação.
Grato, PJMS Em sex, 17 de mai de 2019 19:01, Ralph Teixeira <[email protected] escreveu: > Oops, sim, eu errei, voce consertou, era y=6a+p e x=5a+p. Tambem poderia > ser y=6a-p e x=5a-p, mas entao x vai ser negativo, o que pode ser obtido > diretamente das solucoes positivas trocando sinais. > > Na pratica, a ideia eh a seguinte: tome (11+2raiz(30))^n para varios > valores de n. > > Por exemplo, para n=2, temos: > (11+2raiz(30))^2=241+44raiz(30) > Eu afirmo que p=241 e a=44 tambem servem -- confira que p^2-30a^2=1 de > novo! > Colocando isto na quadratica do y, voce acha y, e depois acha x: > y=6a+p=505 e x=y-a=461 > (Confira que este cara serve! Tambem tem as solucoes trocando os sinais de > x e y, mas nao vou falar muito delas, vou me concentrar nas positivas, as > outras vem por tais trocas de sinal.) > > Para n=3: > (11+2raiz(30))^3=5291+966raiz(30). Entao p=5291, a=966 servem, levando a > y=6a+p=11087 e x=y-a=10121 > > Para cada n, voce terah uma escolha de p e a, e portanto uma escolha de x > e y... Ou seja, o problema tem infinitas solucoes! > > (Sim, o metodo vao sempre gerar p=impar e a=par, entao todas as solucoes > serao x=5a+p=impar e y=6a+p=impar) > > As respostas que faltam -- (A) POR QUE isso gera solucoes? (B) Esta ideia > ACHA TODAS as solucoes (bom, com as devidas trocas de sinal que sempre > existem)? > > ---///--- > (A) POR QUE gera solucoes? > > Lema: Seja m um numero natural positivo que NAO EH quadrado perfeito. > Considere a Equacao de Pell p^2-m.a^2=1 (normalmente o pessoal usa x e y, > mas vou usar p e a para ficar parecido com minha notacao ali em cima). Se > p=p0 e a=a0 eh uma solucao, entao p=pn e a=an tambem eh, onde pn e an sao > inteiros determinados pela formula > (p0+a0.raiz(m))^n=pn+an.raiz(m). > > Demonstracao: Fatorando, vem que (p0+a0.raiz(m)).(p0-a0.raiz(m))=1. > > Elevando os dois lados a potencia n, vem (p0+a0.raiz(m))^n . > (p0-a0.raiz(m))^n =1. > > Mas o primeiro fator do produto eh exatamente pn+raiz(m).an (pela nossa > definicao de an e pn), e nao eh dificil ver que, se m nao eh quadrado > perfeito, o segundo fator tem de ser exatamente o "conjugado" pn-raiz(m).an > (abra o binomio de Newton se necessario para enxergar isso). > > Portanto, temos (pn+an.raiz(m)).(pn-an.raiz(m))=1, ou seja pn^2-m.an^2=1 > tambem! > > ---///--- > > Repito, esse lema mostra que o processo GERA solucoes, mas falta mostrar > (B): que existe alguma especie de "solucao fundamental" que gera TODAS as > outras por este processo... Bom, a resposta eh SIM, esta solucao > "fundamental" existe, e eu **acho** que neste caso eh (11,2)... mas para > mostrar isso, veja o artigo da Eureka, acho que este E-mail ficou muito > compriiiido... :D > > Abraco, Ralph. > > On Fri, May 17, 2019 at 6:05 PM Pedro José <[email protected]> wrote: > >> Boa tarde! >> Se fizer s=x^2 e t=y^2 temos 6s-5t=1; cuja solução é s=5a+1 e t=6a+1, com >> a >=0. Então, x e y não deveriam ser ímpares? >> As soluções que achei: >> (-1,-1);(-1,1);(1,-1) e (1,1) essa no lápis. para a=0 >> (-21,-23);(-21,23);(21,-23) e (21,23) com auxílio do Excel para a=88. >> >> Não sei se há mais soluções. Porém creio que as soluções são em 2Z+1. >> >> Se fosse: >> y=6a+p >> x=5a+p >> (p,a)=(11,2) daria a solução (x,y) = (21,23) >> >> Não consegui alcançar seu pensamento. Mas creio que pela solução da >> equação diofantina, tanto x como y deveriam ser ímpares. >> >> Saudações, >> PJMS >> >> >> >> Em sex, 17 de mai de 2019 às 14:02, Ralph Teixeira <[email protected]> >> escreveu: >> >>> Escreva x=y-a com a inteiro. Ficamos com y^2-12ay+6a^2-1=0. >>> >>> Pense nisso como uma quadrática em y. Para haver soluções inteiras, o >>> discriminante tem que ser quadrado perfeito: >>> >>> D = 144a^2 -4 (6a^2-1) = 120a^2+4 = 4p^2 (tem que ser par, por isso já >>> coloquei o 4) >>> 30a^2+1=p^2 >>> p^2-30a^2=1 >>> >>> Isso é uma Equação de Pell, cuja teoria não é difícil, mas está bem além >>> das congruências... Veja o artigo do Caminha na Eureka 7, por exemplo: >>> https://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/eureka7.pdf >>> >>> Em suma, você acha uma solução fundamental (acho que é (p,a)=(11,2) >>> neste caso) e gerar as outras olhando para >>> (11+2raiz(30))^n (para cada n=0,1,2,..., a parte inteira disso dá um >>> possível p, o coeficiente de raiz(30) dá um possível a). >>> >>> Enfim, encontrados p e a, teremos: >>> y=6a+-2p >>> x=5a+-2p >>> >>> Ou seja, creio haver infinitas soluções! >>> >>> Abraço, Ralph. >>> >>> On Fri, May 17, 2019 at 7:25 AM matematica10complicada < >>> [email protected]> wrote: >>> >>>> Olá meus caros, gostaria de uma ajuda sem usar congruência para >>>> resolver e achar todos os inteiros da equação >>>> 6x^2-5y^2=1. >>>> >>>> >>>> Obrigado e grande abraço. >>>> Douglas oliveira >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
