Oops, sim, eu errei, voce consertou, era y=6a+p e x=5a+p. Tambem poderia ser y=6a-p e x=5a-p, mas entao x vai ser negativo, o que pode ser obtido diretamente das solucoes positivas trocando sinais.
Na pratica, a ideia eh a seguinte: tome (11+2raiz(30))^n para varios valores de n. Por exemplo, para n=2, temos: (11+2raiz(30))^2=241+44raiz(30) Eu afirmo que p=241 e a=44 tambem servem -- confira que p^2-30a^2=1 de novo! Colocando isto na quadratica do y, voce acha y, e depois acha x: y=6a+p=505 e x=y-a=461 (Confira que este cara serve! Tambem tem as solucoes trocando os sinais de x e y, mas nao vou falar muito delas, vou me concentrar nas positivas, as outras vem por tais trocas de sinal.) Para n=3: (11+2raiz(30))^3=5291+966raiz(30). Entao p=5291, a=966 servem, levando a y=6a+p=11087 e x=y-a=10121 Para cada n, voce terah uma escolha de p e a, e portanto uma escolha de x e y... Ou seja, o problema tem infinitas solucoes! (Sim, o metodo vao sempre gerar p=impar e a=par, entao todas as solucoes serao x=5a+p=impar e y=6a+p=impar) As respostas que faltam -- (A) POR QUE isso gera solucoes? (B) Esta ideia ACHA TODAS as solucoes (bom, com as devidas trocas de sinal que sempre existem)? ---///--- (A) POR QUE gera solucoes? Lema: Seja m um numero natural positivo que NAO EH quadrado perfeito. Considere a Equacao de Pell p^2-m.a^2=1 (normalmente o pessoal usa x e y, mas vou usar p e a para ficar parecido com minha notacao ali em cima). Se p=p0 e a=a0 eh uma solucao, entao p=pn e a=an tambem eh, onde pn e an sao inteiros determinados pela formula (p0+a0.raiz(m))^n=pn+an.raiz(m). Demonstracao: Fatorando, vem que (p0+a0.raiz(m)).(p0-a0.raiz(m))=1. Elevando os dois lados a potencia n, vem (p0+a0.raiz(m))^n . (p0-a0.raiz(m))^n =1. Mas o primeiro fator do produto eh exatamente pn+raiz(m).an (pela nossa definicao de an e pn), e nao eh dificil ver que, se m nao eh quadrado perfeito, o segundo fator tem de ser exatamente o "conjugado" pn-raiz(m).an (abra o binomio de Newton se necessario para enxergar isso). Portanto, temos (pn+an.raiz(m)).(pn-an.raiz(m))=1, ou seja pn^2-m.an^2=1 tambem! ---///--- Repito, esse lema mostra que o processo GERA solucoes, mas falta mostrar (B): que existe alguma especie de "solucao fundamental" que gera TODAS as outras por este processo... Bom, a resposta eh SIM, esta solucao "fundamental" existe, e eu **acho** que neste caso eh (11,2)... mas para mostrar isso, veja o artigo da Eureka, acho que este E-mail ficou muito compriiiido... :D Abraco, Ralph. On Fri, May 17, 2019 at 6:05 PM Pedro José <[email protected]> wrote: > Boa tarde! > Se fizer s=x^2 e t=y^2 temos 6s-5t=1; cuja solução é s=5a+1 e t=6a+1, com > a >=0. Então, x e y não deveriam ser ímpares? > As soluções que achei: > (-1,-1);(-1,1);(1,-1) e (1,1) essa no lápis. para a=0 > (-21,-23);(-21,23);(21,-23) e (21,23) com auxílio do Excel para a=88. > > Não sei se há mais soluções. Porém creio que as soluções são em 2Z+1. > > Se fosse: > y=6a+p > x=5a+p > (p,a)=(11,2) daria a solução (x,y) = (21,23) > > Não consegui alcançar seu pensamento. Mas creio que pela solução da > equação diofantina, tanto x como y deveriam ser ímpares. > > Saudações, > PJMS > > > > Em sex, 17 de mai de 2019 às 14:02, Ralph Teixeira <[email protected]> > escreveu: > >> Escreva x=y-a com a inteiro. Ficamos com y^2-12ay+6a^2-1=0. >> >> Pense nisso como uma quadrática em y. Para haver soluções inteiras, o >> discriminante tem que ser quadrado perfeito: >> >> D = 144a^2 -4 (6a^2-1) = 120a^2+4 = 4p^2 (tem que ser par, por isso já >> coloquei o 4) >> 30a^2+1=p^2 >> p^2-30a^2=1 >> >> Isso é uma Equação de Pell, cuja teoria não é difícil, mas está bem além >> das congruências... Veja o artigo do Caminha na Eureka 7, por exemplo: >> https://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/eureka7.pdf >> >> Em suma, você acha uma solução fundamental (acho que é (p,a)=(11,2) neste >> caso) e gerar as outras olhando para >> (11+2raiz(30))^n (para cada n=0,1,2,..., a parte inteira disso dá um >> possível p, o coeficiente de raiz(30) dá um possível a). >> >> Enfim, encontrados p e a, teremos: >> y=6a+-2p >> x=5a+-2p >> >> Ou seja, creio haver infinitas soluções! >> >> Abraço, Ralph. >> >> On Fri, May 17, 2019 at 7:25 AM matematica10complicada < >> [email protected]> wrote: >> >>> Olá meus caros, gostaria de uma ajuda sem usar congruência para resolver >>> e achar todos os inteiros da equação >>> 6x^2-5y^2=1. >>> >>> >>> Obrigado e grande abraço. >>> Douglas oliveira >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
