Bom dia!
É muita coincidência. Teve um problema agora a respeito de numeração na
terra do IMPA que é muito, mas muito semelhante a esse.
Só que nesse caso caso é o contrário, ou seja a função inversa. O da terra
dos Impa, dá uma posição e quer saber qual o número IMPA.
Aqui se dá uma palavra e se quer a posição.
Podemos fazer uma bijeção: {a,e,c,i,m,t} em {1,2,3,4,5,6} se x<y==>
f(x)<f(y)
Usando-se o conceito que já mencionara no problema referido.
Para saber, no caso a palavra de3 ordem n.
Passo 1. Escrever o número n na base 6.
Passo 2. Subtrair na base 6 (n)base 6 - (1111...111) base6 o maior número
somente com algarismos 1 e menor que n. Nota considerar da esquerda para
direita, tantos algarismos quanto o do número 1111.1111,
Passo 3 Substituir cada algarismo do resultado da conta anterior por esse
algarismo acrescido de 1.
Passo 4. Usar a função inversa da bijeção e tornar os algarismos em letras.
Por exemplo vamos pegar a palavra de ordem imediatamente inferior a
MATEMATICA, como a resposta foi dada 53.929.309.
A palavra seria de ordem: 53.929.308
1o passo. 53.929.30= (5203520420)base6
2o passo (5.203.520.420)base6 - (1.111.111.111)base6= (4.052.405.305)
3o passo (5.163.516416)
4o passo MATEMATIAT, que realmente é a palavra imediatamente anterior a
MATEMATICA.
Então já temos como ir da ordem para a palavra. Agora é só determinar a
inversa.
1o Passo Usar a bijeção e transformar a palavra em Número
2o Passo Substituir cada algarismo por o algarismo que o antecede.
3o passo Somar (1111.111)Base6 com tantos algarismos obtidos no passo
anterior ao obtido no passo anterior, considerando-o como base 6.
4o passar transformar o valor obtido da base 6 para pase 10.
Aplicando para MATEMATICA
1o passo: 5.163.516.421
2opasso 4.052.405.310
3o passo (4.052.405.31)base6+ (1.111.111.111)base6= (5.203.520.421)base6
4o passo 5*6^9+2*6^8+3*6^6+5*6^5+2*6^4+4*6^2+2*6+1 =53.929.309
Se você quiser entender o porquê, veja nota Minha solução para o item c) do
problema 3 da prova da OBM-2017 lá eu faço uma abordagem, pegando carona na
ideia do Cauã, e aqui uma adaptação para a base 6.
Então você agora, pode tanto compor uma palavra de ordem n, quanto
descobrir qual a palavra de ordem n.
Deixo claro, que me apoiei na ideia do Cauã. A ideia de levar para a base 5
no caso dos Impa foi dele. Infelizmente ele não deu um prosseguimento
satisfatório.
Mas a ideia foi muito boa e serviu até para esse novo problema. Uma grata
coincidência. Pois a abordagem anterior foi, digamos, um pouco vilipendiada.
Talvez agora, com mais uma aplicação receba mais atenção e méritos ao Cauã.
Saudações,
PJMS
Em dom., 10 de nov. de 2019 às 21:22, lumpa lumpa <[email protected]>
escreveu:
> Boa solução, Rodrigo, mas pq sua contagem resultou um a menos ?
> A resposta é 53.929.309
>
> On Sun, Nov 10, 2019 at 9:31 PM Rodrigo Ângelo <[email protected]>
> wrote:
>
>> A primeira palavra com 10 letras tem posição δ = 6 + 6^2 + ... + 6^9 =
>> 12.093.234.
>>
>> Das palavras que tem 10 letras, fixando a primeira letra em "a", temos
>> 6^9 palavras. Depois, fixando a primeira letra em "c", "e", e "i", temos a
>> mesma quantidade.
>>
>> Então, das palavras de 10 letras, a primeira que começa com "m" tem
>> posição
>> δ + 4*6^9
>>
>> Repetindo esse processo para todas as letras que formam a palavra
>> desejada, temos:
>>
>> δ + 4*6^9 + 5*6^7 + 2*6^6 + 4*6^5 + 5*6^3 + 3*6^2 + 6 = 53.929.308.
>>
>> Atenciosamente,
>> Rodrigo Angelo
>>
>> On Sun, Nov 10, 2019, 18:42 jamil silva <[email protected]> wrote:
>>
>>> Será que sai por base seis ?
>>>
>>> Em dom., 10 de nov. de 2019 às 18:31, lumpa lumpa <[email protected]>
>>> escreveu:
>>>
>>>> Qual a posição da palavra "matematica" na série de todas as sequências
>>>> possíveis em ordem alfabética das letras do conjunto da palavra matemática
>>>> {a, c, e, i, m, t} ?
>>>> essa sequencia inicia assim:
>>>> a, c, e, i, m, t, aa, ac, ae, ai, am, at, ca, cc, ce, ci, cm, ct, ea,
>>>> ec, ee, ei, em, et, ia, ic, ie, ii, im ,it, ma, mc, me, mi, mm, mt, ta, tc,
>>>> te, ti, tm, tt, aaa, aac, aae, ...
>>>>
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>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
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