Muito obrigado, Gugu. A prova não é muito simples! Artur
Em ter, 2 de jul de 2019 15:21, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira < [email protected]> escreveu: > Caro Artur, > > Seja d>0 pequeno. Existem K compacto e U aberto com K C A C U e > m(A)-d<m(K)<=m(A)<=m(U)<m(A)+d. Assim, como > > (A interseção (x+A)) C (K interseção (x+K)) U (A\K) U (x+(A\K)), temos > f(x)=m(A interseção (x+A))<m(K interseção (x+K))+2d, donde > > m(K interseção (x+K))>f(x)-2d, para todo x em R^n. > > Seja agora V aberto contendo (K interseção (x+K)) com m(V)<f(x)+d. Existe > r>0 tq. |x-y|<r implica ((K interseção (x+K))+y-x) C V e (K interseção > (y+K)) C V, > > donde f(y)<m(K int (y+K))+2d<=m(V)+2d<f(x)+3d e m(V)>=m((K interseção V) > união ((y+K) interseção V))=m(K interseção V)+m((y+K) interseção V)-m(K > interseção (y+K)), > > logo, como m(K interseção V)>=m(K interseção (x+K))>f(x)-2d e m((y+K) > interseção V)>=m((K interseção (x+K))+y-x)=m(K interseção (x+K))>f(x)-2d, > temos > > f(y)>=m(K interseção (y+K))>=m(K interseção V)+m((y+K) interseção > V)-m(V)>=2f(x)-4d-m(V)>f(x)-5d. Isso dá a continuidade. > > Abraços, > > Gugu > Em 02/07/2019 09:54, Artur Costa Steiner escreveu: > > Será que alguém aqui pode me ajudar com isso, ou sabe de algum link > correlato:? > > Sejam m a medida de Lebesgue, A um subconjunto de R^n com 0 < m(A) < oo e > f: R^n ---> [0, oo) dada por f(x) =m(A intersecção (x + A)), onde x + A = > {x + a | a está em A} a translação de A pelo vetor x de R^n. > > Mostre que f é contínua. > > Este teorema provê uma prova bem simples de que, se m(A) > 0, então A - A > = {a1 - a2 | a1 e a2 estão em A} contém uma bola com centro na origem. > (conheço uma outra prova, que é mais trabalhosa), E esta conclusão sobre a > bola é utilizada numa linda prova de que o conjunto de Vitali (que é bem > patológico) não é Lebesgue mensurável. > > > Obrigado > > Artur > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
