Caro Artur,
Seja d>0 pequeno. Existem K compacto e U aberto com K C A C U e
m(A)-d<m(K)<=m(A)<=m(U)<m(A)+d. Assim, como
(A interseção (x+A)) C (K interseção (x+K)) U (A\K) U (x+(A\K)), temos
f(x)=m(A interseção (x+A))<m(K interseção (x+K))+2d, donde
m(K interseção (x+K))>f(x)-2d, para todo x em R^n.
Seja agora V aberto contendo (K interseção (x+K)) com m(V)<f(x)+d.
Existe r>0 tq. |x-y|<r implica ((K interseção (x+K))+y-x) C V e (K
interseção (y+K)) C V,
donde f(y)<m(K int (y+K))+2d<=m(V)+2d<f(x)+3d e m(V)>=m((K interseção V)
união ((y+K) interseção V))=m(K interseção V)+m((y+K) interseção V)-m(K
interseção (y+K)),
logo, como m(K interseção V)>=m(K interseção (x+K))>f(x)-2d e m((y+K)
interseção V)>=m((K interseção (x+K))+y-x)=m(K interseção
(x+K))>f(x)-2d, temos
f(y)>=m(K interseção (y+K))>=m(K interseção V)+m((y+K) interseção
V)-m(V)>=2f(x)-4d-m(V)>f(x)-5d. Isso dá a continuidade.
Abraços,
Gugu
Em 02/07/2019 09:54, Artur Costa Steiner escreveu:
Será que alguém aqui pode me ajudar com isso, ou sabe de algum link
correlato:?
Sejam m a medida de Lebesgue, A um subconjunto de R^n com 0 < m(A) <
oo e f: R^n ---> [0, oo) dada por f(x) =m(A intersecção (x + A)), onde
x + A = {x + a | a está em A} a translação de A pelo vetor x de R^n.
Mostre que f é contínua.
Este teorema provê uma prova bem simples de que, se m(A) > 0, então A
- A = {a1 - a2 | a1 e a2 estão em A} contém uma bola com centro na
origem. (conheço uma outra prova, que é mais trabalhosa), E esta
conclusão sobre a bola é utilizada numa linda prova de que o conjunto
de Vitali (que é bem patológico) não é Lebesgue mensurável.
Obrigado
Artur
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
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