On Mon, Feb 11, 2019 at 11:11 AM Artur Steiner <[email protected]> wrote: > OK.
Eu também fiz assim, à primeira vista. Na "força bruta", analisando os 3 casos (deg P > deg Q, e os dois casos deg P < deg Q). É um pouco mais satisfatório do que usar os canhões de análise complexa, porque a gente fica com a impressão que dá para usar em casos mais gerais. Mas acaba sendo uma demonstração de uma natureza bem diferente. > Um problema mais interessante é provar que, se f e g são funções inteiras > tais que |f(z)| > |g(z)| ocorra para um número finito de complexos, então, > para todo z, f(z) = k g(z), sendo k uma constante com |k| <= 1. E daí f nunca é maior do que g, logo finito = 0 ;-) Na verdade, como f/g é uma função meromorfa, sua imagem é ou constante ou "quase total" (a menos de 2 pontos, como é o caso da exponencial, que não pega 0 nem infinito), pelo teorema de Picard. Isso é (muito) mais forte do que o seu resultado. Mesmo Casorati-Weierstrass mostra que a imagem de f/g é densa na esfera de Riemann, o que já é também mais forte do que o seu resultado. > Isso também poderia ser aplicado no caso dos polinômios. Se |Pz)| > |Q(z)| > para um número finito de complexos, concluímos que P é Q têm o mesmo grau. Aqui é um pouco diferente do que eu fiz acima, porque P/Q não tem uma singularidade essencial no infinito. Mas daí eu faria de um outro modo (se é para usar complexos): Considere a equação P/Q = a, com a um número complexo qualquer. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, P - a*Q (que não é nulo porque os graus são diferentes) tem uma raiz. Daí, variando a (no complementar do disco unitário) você encontra uma quantidade não enumerável (vezes o grau de P - a*Q) de pontos z onde P/Q = a, e portanto |P| > |Q| Como você mesmo falou, o importante é o resultado de funções inteiras. A hipótese que os graus de P e Q são distintos é "quase para confundir", porque parece que tem algo especial nisso, e na verdade não: basta garantir que P/Q não seja constante. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
