Bela solução!! mas qual foi o teu insight? Desconfiança de que havia uma distribuição uniforme dos restos possíveis? Att.
Em qua, 23 de jan de 2019 às 00:47, Ralph Teixeira <[email protected]> escreveu: > Hm, tive uma ideia, confiram se funciona. > > Seja S o conjunto dos numeros obtidos pela permutacao dos digitos de 1 a > 7, e seja x_i a quantidade de elementos de S que deixam resto i na divisao > por 7 (i=0,1,2,3,4,5,6). > > Agora vamos fazer dois pareamentos. (Ou seja, vamos criar funcoes f,g:S->S > tal que f(f(N))=N e g(g(N))=N para todo N em S). > > PRIMEIRO: No primeiro pareamento, troque cada digito x de N=abcdefg pelo > digito 8-x obtendo o numero f(N) (por exemplo, o numero N=1574326 eh > pareado com f(N)=7314562). Claramente, f(N) esta em S, e f(f(N))=N. Como a > soma desses dois numeros eh N+f(N)=8888888, que deixa resto 1 na divisao > por 7, temos automaticamente que: > -- Se N mod 7 = 1, entao f(N) mod 7 = 0; em outras palavras para cada > numero N que deixa resto 1, temos exatamente um numero f(N) que deixa resto > 0, e vice-versa; portanto x_1=x_0. > -- Se N mod 7 = 2, entao f(N) mod 7 = 6; portanto x_2=x_6. > -- Analogamente, x_3=x_5. > > SEGUNDO: Agora, g(N) eh obtido a partir de N trocando cada digito x por > 7-x, EXCETO O DIGITO 7 que eh mantido. Por exemplo, se N=1754326 entao > g(N)=6723451. Claramente g(N) estah em S, e g(g(N))=N. Agora, N+g(N) mod 7 > = 7777777 = 0 (pois aquele 7 extra pode ser jogado fora sem alterar o resto > modulo 7). Assim, de maneira analoga ao pareamento anterior, concluimos que: > -- x_1=x_6; x_2=x_5; x_3=x_4. > > Encadeando tudo, concluimos que x_0=x_1=x_2=...=x_6. Assim, o numero > pedido eh x_0=#(S)/7=6!. > > Abraco, Ralph. > > On Tue, Jan 22, 2019 at 9:57 PM Heitor Gama Ribeiro <[email protected]> > wrote: > >> Consideramos todos os números de 7 dígitos que se obtém permutando de >> todas as maneiras possíveis os dígitos de 1234567. Quantos deles são >> divisíveis por 7? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- -------------------------- Abraços, Mauricio de Araujo [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ] -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
