Hm, tive uma ideia, confiram se funciona. Seja S o conjunto dos numeros obtidos pela permutacao dos digitos de 1 a 7, e seja x_i a quantidade de elementos de S que deixam resto i na divisao por 7 (i=0,1,2,3,4,5,6).
Agora vamos fazer dois pareamentos. (Ou seja, vamos criar funcoes f,g:S->S tal que f(f(N))=N e g(g(N))=N para todo N em S). PRIMEIRO: No primeiro pareamento, troque cada digito x de N=abcdefg pelo digito 8-x obtendo o numero f(N) (por exemplo, o numero N=1574326 eh pareado com f(N)=7314562). Claramente, f(N) esta em S, e f(f(N))=N. Como a soma desses dois numeros eh N+f(N)=8888888, que deixa resto 1 na divisao por 7, temos automaticamente que: -- Se N mod 7 = 1, entao f(N) mod 7 = 0; em outras palavras para cada numero N que deixa resto 1, temos exatamente um numero f(N) que deixa resto 0, e vice-versa; portanto x_1=x_0. -- Se N mod 7 = 2, entao f(N) mod 7 = 6; portanto x_2=x_6. -- Analogamente, x_3=x_5. SEGUNDO: Agora, g(N) eh obtido a partir de N trocando cada digito x por 7-x, EXCETO O DIGITO 7 que eh mantido. Por exemplo, se N=1754326 entao g(N)=6723451. Claramente g(N) estah em S, e g(g(N))=N. Agora, N+g(N) mod 7 = 7777777 = 0 (pois aquele 7 extra pode ser jogado fora sem alterar o resto modulo 7). Assim, de maneira analoga ao pareamento anterior, concluimos que: -- x_1=x_6; x_2=x_5; x_3=x_4. Encadeando tudo, concluimos que x_0=x_1=x_2=...=x_6. Assim, o numero pedido eh x_0=#(S)/7=6!. Abraco, Ralph. On Tue, Jan 22, 2019 at 9:57 PM Heitor Gama Ribeiro <[email protected]> wrote: > Consideramos todos os números de 7 dígitos que se obtém permutando de > todas as maneiras possíveis os dígitos de 1234567. Quantos deles são > divisíveis por 7? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
