Mas esse teorema não é óbvio, apesar de não ser difícil de provar. A minha solução me parece mais natural: ir testando "na mão" até que algum padrão fique evidente.
On Tue, Jan 22, 2019 at 11:56 AM Artur Steiner < [email protected]> wrote: > É, o que podemos afirmar é que f tem pelo menos 401 raízes em [-1000, > 1000]. > > Uma outra forma de mostrar é com base no seguinte teorema: > > Se o gráfico de f é simétrico com relação a dois eixos verticais x = a e x > = b distintos, então f é periódica e um de seus períodos é 2|b - a|. > > Assim, a f do caso é periódica e um de seus períodos é 2(7 - 2) =10. > Verificamos que 4 e 14 = 4 + 10, além de 0, são raízes. Logo, os números da > forma a_n = 10n e b_n = 4 + 10n, n inteiro, são raízes.Disso concluímos > facilmente que, em [-1000, 1000] , há 401 raízes de uma destas formas. > > Para provarmos o teorema citado, observamos que, para todo x, > > f(a - x) = f(a + x) > f(b - x) = f(b + x) > > Logo para todo x, > > f(x) = f(a + (x - a)) = f(a - (x - a)) = f(2a - x) = f(b + (2a - x - b)) = > f(b - (2a - x - b)) = f(2(b - a) + x) > > Como b - a <> 0, vemos que f é periódica e que 2|b - a| é um de seus > períodos.. > > > > > Artur Costa Steiner > > Em ter, 22 de jan de 2019 10:26, Claudio Buffara < > [email protected] escreveu: > >> 0 = >> f(0) = f(2-2) = f(2+2) = f(4); >> f(4) = f(7-3) = f(7+3) = f(10); >> f(10) = f(2+8) = f(2-8) = f(-6) >> f(-6) = f(7-13) = f(7+13) = f(20) >> f(20) = f(2+18) = f(2-18) = f(-16) >> f(-16) = f(7-23) = f(7+23) = f(30) >> ... >> Hipótese de indução: f(10n) = f(4-10n) = 0, para n >= 0. >> >> f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(2+10n+8) = f(2-10n-8) = f(-6-10n) = >> f(4-10(n+1)) >> Mas f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(7+10n+3) = f(7-10n-3) = f(4-10n) = 0, pela >> hipótese de indução. >> >> 0 = >> f(0) = f(7-7) = f(7+7) = f(14). >> f(14) = f(2+12) = f(2-12) = f(-10) >> f(-10) = f(7-17) = f(7+17) = f(24) >> f(24) = f(2+22) = f(2-22) = f(-20) >> f(-20) = f(7-27) = f(7+27) = f(34) >> f(34) = f(2+32) = f(2-32) = f(-30) >> ... >> Da mesma forma, dá pra provar que f(-10n) = f(14+10n) = 0, para n >= 0. >> >> Ou seja, no intervalo [-1000,1000], temos as raízes: >> -1000, -990, -980, ..., -10, 0, 10, ..., 980, 990, 1000 ==> 201 raízes >> e também: >> -996, -986, -976, ..., -16, -6, 4, 14, 24, ..., 994 ==> 200 raízes >> >> Assim, no intervalo [-1000,1000], f tem pelo menos 401 raízes. >> >> Mas, de fato, isso não prova que este é o número mínimo de raízes que f >> pode necessariamente ter. >> Pois é possível que as condições do enunciado forcem a existência de >> outras raízes. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> >> On Tue, Jan 22, 2019 at 8:09 AM Artur Steiner < >> [email protected]> wrote: >> >>> Acho esse interessante. >>> >>> Suponhamos que, para todo x, f de R em R satisfaça a >>> >>> f(2 - x) = f(2 + x) >>> f(7 - x) = f(7 + x) >>> >>> e f(0) = 0 >>> >>> Determine o número mínimo de raízes que f pode ter em [-1000, 1000] >>> >>> >>> Artur Costa Steiner >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
