Essa discussão me fez lembrar de outro problema bastante interessante: Dada uma sequência qualquer de algarismos, existe uma potência (inteira positiva) de 2 que começa com esta sequência. Assim, por exemplo, existe uma potência de 2 cujos 9 algarismos mais à esquerda são justamente o número do seu celular (qualquer que seja este número!).
Um problema mais difícil é calcular a proporção das potências de 2 que começa com cada algarismo. Por exemplo, é possível provar que aproximadamente 30,1% das potências de 2 começa com 1. Mas apenas 4,58% delas começa com 9. A proporção é definida como lim(n->infinito) N(n,k)/n, onde: N(n,k) = número de potências de 2, dentre as n primeiras, que começam com a sequência de algarismos "k"). Assim, lim(n->infinito) N(n,1)/n = 0,301 (aproximadamente). Isso tem a ver com a lei de Benford (dá um google...) []s, Claudio. On Mon, Sep 3, 2018 at 3:22 PM Claudio Buffara <[email protected]> wrote: > De fato! Obrigado. > > É certo que não podem existir mais do que 4 potências de 2 com um mesmo > número de algarismos. > Pois, se, para algum p e algum m, tivermos 10^p < 2^m < 2^(m+4) < > 10^(p+1), então teríamos também: > 10^(p+1)/10^p > 2^(m+4)/2^m, ou seja, 10 > 16 ==> contradição. > > Também não podem existir menos do que 3. > Pois, se for 2^(m-1) < 10^p < 2^m < 2^(m+1) < 10^(p+1) < 2^(m+2) então: > 2^(m+2)/2^(m-1) > 10^(p+1)/10^p ou 8 > 10. > > Para termos 4 potências de 2 com o mesmo número de algarismos, é preciso > ter: > 10^p < N < 8*N < 10^(p+1) ==> > N/10^p > 1 e 10^(p+1)/(8N) > 1 ==> > N/10^p < 10/8 = 1,25. > Ou seja, a menor potência de 2 com (p+1) algarismos deve ser menor do que > 1,25*10^p. > > (1, 2, 4, 8), (1024, 2048, 4096, 8192), etc... > > Também não é difícil ver que a menor potência de 2 com um dado número de > algarismos começa com 1 (se começasse com 2 ou mais, a metade dela também > teria o mesmo número de algarismos). > > []s, > Claudio. > > > > On Mon, Sep 3, 2018 at 3:03 PM Pedro José <[email protected]> wrote: > >> Boa tarde! >> Cláudio, >> bela solução! >> Mas cabe uma observação 0 <= r < s <4, a restrição é mais forte em 4, >> pois 2^4=16 e forçaria a ter mais um dígito. >> Furou em 4, mas não carecia verificar. >> >> Saudações, >> PJMS >> >> Em seg, 3 de set de 2018 às 10:57, Israel Meireles Chrisostomo < >> [email protected]> escreveu: >> >>> Assista a esse vídeo aqui, lá tem explicação passo a passo: >>> >>> https://www.youtube.com/watch?v=3sRrcYk7RTw >>> >>> Em dom, 2 de set de 2018 às 23:58, Claudio Buffara < >>> [email protected]> escreveu: >>> >>>> Existem no máximo 4 potências consecutivas de 2 com um dado número de >>>> algarismos, já que 2^3 < 10 < 2^4. >>>> Vamos chamá-las de 2^m, 2^(m+1), 2^(m+2), 2^(m+3). >>>> Se duas delas (digamos, 2^(m+r) e 2^(m+s), com 0 <= r < s <= 4) tiverem >>>> os mesmos algarismos, então será: >>>> 2^(m+r) == 2^(m+s) (mod 9), onde "==" quer dizer "é congruente a". >>>> Pra ver isso, basta observar que N == soma dos algarismos de N (mod 9). >>>> Assim: >>>> 2^r == 2^s (mod 9) ==> >>>> 1 == 2^(s-r) (mod 9) ==> >>>> Mas s-r só pode ser 1, 2, 3 ou 4 ==> >>>> 2^(s-r) == 2, 4, 8, 6 (mod 9), respectivamente. >>>> Logo, não existem duas potências distintas de 2 cumprindo a condição >>>> mencionada. >>>> >>>> []s, >>>> Claudio. >>>> >>>> >>>> On Sun, Sep 2, 2018 at 10:09 PM marcone augusto araújo borges < >>>> [email protected]> wrote: >>>> >>>>> >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> -- >>> Israel Meireles Chrisostomo >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
