Boa solução! No caso das somas de Riemann, temos o seguinte:
Suponhamos que f seja contínua e não negativa e que sua integral imprópria sobre (a, b], a e b em R, seja finita. Seja P_n uma sequência de partições de [a, b] com norma (comprimento do menor intervalo) tendendo a 0. Sendo L_n a soma inferior de Riemann de f sobre P_n, temos que lim L_n = Integral (a, b] f(x) dx , imprópria. Se f for limitada, caímos naquele clássico teorema. O interessante é quando f é ilimitada. Na realidade, não é preciso que f seja não negativa. Basta que seja limitada inferiormente por uma função Lebesgue integrável sobre o intervalo. Mas demonstrando para o caso particular, o geral fica coberto. Resultado similar vale para intevalos do tipo [a, b), a e b em R. Me parece que sua prova pode ser adaptada para o caso em que f é decrescente. Artur Costa Steiner Em seg, 27 de ago de 2018 16:48, Claudio Buffara <[email protected]> escreveu: > Para -1 < a < 0, vale: > (1/n)*(k/n)^a > Integral(k/n...(k+1)/n) x^a*dx > (1/n)*((k+1)/n)^a, para > 1<=k<=n-1. > > Somando de k = 1 até n-1, obtemos: > (1 + 2^a + ... + (n-1)^a)/n^(a+1) > Integral(1/n...1) x^a*dx > (2^a + 3^a > + ... + n^a)/n^(a+1) ==> > > S(n) - 1/n > (1 - (1/n)^(a+1))/(a+1) > S(n) - 1/n^(a+1) > > Se lim S(n) existe, então fazendo n -> infinito, as duas extremidades > tendem ao mesmo limite e o meio tende a 1/(a+1). > Logo, o limite é 1/(a+1) quando -1 < a < 0. > > Mas, de fato, não respondi sua pergunta. > > []s, > Claudio. > > > > > On Mon, Aug 27, 2018 at 3:41 PM Artur Steiner < > [email protected]> wrote: > >> >> >> Artur Costa Steiner >> >> Em seg, 27 de ago de 2018 15:26, Claudio Buffara < >> [email protected]> escreveu: >> >>> Isso aí não é a soma de Riemann relativa a Integral(0...1) x^a*dx ? >>> Mas pra -1 < a < 0, a integral é imprópria. É esta a sutileza? >>> >> >> É. E geralmente se passa batido nela. Aquela clássico teorema sobre >> convergência de somas de Riemann com norma tendendo a 0 de modo geral não >> vale para integrais impróprias. Mas no caso vale. Por que? >> >> >> >>> >>> >>> On Mon, Aug 27, 2018 at 3:02 PM Artur Costa Steiner < >>> [email protected]> wrote: >>> >>>> A determinação deste limite costuma levar a uma sutileza que geralmente >>>> passa batida. >>>> >>>> Artur >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
