Artur Costa Steiner Em sex, 17 de ago de 2018 13:29, Claudio Buffara <[email protected]> escreveu:
> Ou seja, pra toda série divergente de termos positivos, existe uma série > de termos positivos que diverge mais devagar. > > É verdade. > > 2018-08-16 16:01 GMT-03:00 Artur Costa Steiner <[email protected]>: > >> Excelente solução. >> >> Mas tem um resultado geral sim. Se (a_n) é uma sequência de reais >> positivos, então Soma (a_n)/(s_n) converge se, e somente se, (s_n) converge. >> >> Se s_n ---> s em R, então s > 0 e uma simples comparação de limites >> mostra que Soma (a_n)/(s_n) converge. >> >> Se (s_n) divergir, uma possível prova é considerar t_m, a sequência das >> somas parciais de (a_n)/(s_n), e mostrar que t_m não é Cauchy. Para todo >> n, podemos achar m > n tal que t_,m - t_n > 1/2. >> >> Artur >> >> Em 16 de ago de 2018 14:43, "Claudio Buffara" <[email protected]> >> escreveu: >> >> Sabemos que SOMA(p_n) e SOMA(1/p_n) divergem. >> >> Analisando exemplos mais simples: >> >> a_n = n ==> SOMA(a_n/s_n) = SOMA(n/(n(n+1)/2)) = SOMA(2/(n+1)) -> diverge >> (~ 2 * série harmônica) >> (notação: x_n ~ y_n <==> lim(n->infinito) (x_n/y_n) = 1) >> >> a_n = 1/n ==> SOMA(a_n/s_n) = SOMA((1/n)/(1+1/2+...+1/n)) ~ >> SOMA(1/(n*log(n))) -> diverge (por exemplo, pelo teste da integral). >> >> >> Sabemos também que p_n ~ n*log(n) e que SOMA(1/p_n) ~ log(log(n)). >> Assim, SOMA((1/p_n)/s_n) ~ SOMA((1/(n*log(n))) / log(log(n)) = SOMA( >> 1/(n*log(n)*log(log(n))) ) -> diverge (também pelo teste da integral) >> >> p_n ~ n*ln(n) ==> n*log(n)/(1*log(1) + 2*log(2) + ... + n*log(n)) >> Comparando com Integral(1...n) x*log(x)*dx, o denominador é assintótico a >> (1/2)*(n^2*log(n) - n^2/2) ==> >> SOMA(a_n/s_n) ~ (1/2)*SOMA(log(n)/(n*(log(n) - 1/2))) ~ (1/2)*SOMA(1/n) >> -> diverge >> >> >> Será que não tem um resultado mais geral por trás disso? >> Algo do tipo: se s_n diverge então SOMA(a_n/s_n) também diverge? >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> >> 2018-08-16 5:13 GMT-03:00 Artur Steiner <[email protected]>: >> >>> Sejam (a_n) uma sequência, (s_n) a sequência das somas parciais de (a_n) >>> e (p_n) a sequência dos primos. Analise a convergência/divergência de Soma >>> (a_n)/(s_n) para os casos; >>> >>> 1) a_n = p_n >>> >>> 2) a_n = 1/p_n >>> >>> Artur Costa Steiner >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
