Ou seja, pra toda série divergente de termos positivos, existe uma série de termos positivos que diverge mais devagar.
2018-08-16 16:01 GMT-03:00 Artur Costa Steiner <[email protected]>: > Excelente solução. > > Mas tem um resultado geral sim. Se (a_n) é uma sequência de reais > positivos, então Soma (a_n)/(s_n) converge se, e somente se, (s_n) converge. > > Se s_n ---> s em R, então s > 0 e uma simples comparação de limites mostra > que Soma (a_n)/(s_n) converge. > > Se (s_n) divergir, uma possível prova é considerar t_m, a sequência das > somas parciais de (a_n)/(s_n), e mostrar que t_m não é Cauchy. Para todo > n, podemos achar m > n tal que t_,m - t_n > 1/2. > > Artur > > Em 16 de ago de 2018 14:43, "Claudio Buffara" <[email protected]> > escreveu: > > Sabemos que SOMA(p_n) e SOMA(1/p_n) divergem. > > Analisando exemplos mais simples: > > a_n = n ==> SOMA(a_n/s_n) = SOMA(n/(n(n+1)/2)) = SOMA(2/(n+1)) -> diverge > (~ 2 * série harmônica) > (notação: x_n ~ y_n <==> lim(n->infinito) (x_n/y_n) = 1) > > a_n = 1/n ==> SOMA(a_n/s_n) = SOMA((1/n)/(1+1/2+...+1/n)) ~ > SOMA(1/(n*log(n))) -> diverge (por exemplo, pelo teste da integral). > > > Sabemos também que p_n ~ n*log(n) e que SOMA(1/p_n) ~ log(log(n)). > Assim, SOMA((1/p_n)/s_n) ~ SOMA((1/(n*log(n))) / log(log(n)) = SOMA( > 1/(n*log(n)*log(log(n))) ) -> diverge (também pelo teste da integral) > > p_n ~ n*ln(n) ==> n*log(n)/(1*log(1) + 2*log(2) + ... + n*log(n)) > Comparando com Integral(1...n) x*log(x)*dx, o denominador é assintótico a > (1/2)*(n^2*log(n) - n^2/2) ==> > SOMA(a_n/s_n) ~ (1/2)*SOMA(log(n)/(n*(log(n) - 1/2))) ~ (1/2)*SOMA(1/n) -> > diverge > > > Será que não tem um resultado mais geral por trás disso? > Algo do tipo: se s_n diverge então SOMA(a_n/s_n) também diverge? > > []s, > Claudio. > > > > 2018-08-16 5:13 GMT-03:00 Artur Steiner <[email protected]>: > >> Sejam (a_n) uma sequência, (s_n) a sequência das somas parciais de (a_n) >> e (p_n) a sequência dos primos. Analise a convergência/divergência de Soma >> (a_n)/(s_n) para os casos; >> >> 1) a_n = p_n >> >> 2) a_n = 1/p_n >> >> Artur Costa Steiner >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
