Suponhamos que exista uma tal f. Como f é diferenciável, vale f'(f(x))*f'(x) = -cos(x), pela regra da cadeia.
Suponhamos que f tenha um ponto fixo a (de modo que f(a) = a). f(a) = a ==> -sen(a) = f(f(a)) = f(a) = a ==> a = 0. Ou seja, f(0) = 0, de modo que f'(f(0))*f'(0) = -cos(0) ==> f'(0)^2 = -1 ==> contradição ==> f não tem um ponto fixo. No entanto, f(f(0)) = -sen(0) = 0. Seja b = f(0). Então b <> 0 (caso contrário 0 seria um ponto fixo de f) e f(b) = f(f(0)) = 0. Mas, neste caso, -sen(b) = f(f(b)) = f(0) = b ==> b = 0 ==> contradição. Logo, não existe f diferenciável tal que f(f(x)) = -sen(x) para todo x real. []s, Claudio. 2018-07-31 14:34 GMT-03:00 Artur Steiner <[email protected]>: > Acho este interessante: > > Mostre que não existe f: R--> R diferenciável tal que f(f(x)) = -sen(x) > para todo x. > > Artur Costa Steiner > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
