ok, aí vai minha solução. Deve haver outras. Antes, vamos ver dois lemas.
Lema 1 Seja f uma função definida num domínio D e com valores em D e seja g = f o f. Se o ponto a de D for o único ponto fixo de g, então a é o (único) ponto fixo de f. Prova: sendo b = f(a), então f(b) = f(f(a)) = g(a) = a e g(b) = f(f(b)) = f(a) = b, do que deduzimos que b é ponto de fixo de g. Como g tem em a seu único ponto fixo, segue-se que b = a, ou seja, f(a) = a, o que mostra que a é ponto fixo de f. Lema 2 Se f: R --> R tiver um ponto fixo em a e for diferenciável em a ,então g = f o f é diferenciável em a com g'(a) = (f'(a))^2 (o que implica que g'(a) >= 0). Prova: como f(a) = a, f é diferenciável em a e em f(a). Pela regra da cadeia, g é diferenciável em a e g'(a) = f'(f(a)) f'(a) = f'(a) . f'(a) = (f'(a))^2. No caso, temos g(x) = - sen(x) e, portanto, g(0) = 0.Logo, g tem um ponto fixo em 0. Vamos mostrar que este é o único ponto fixo de g em R. Sendo h(x) = x - g(x) = x + sen(x), temos que h'(x) = 1 + cos(x) >= 0. h é estritamente crescente e, assim, só se anula para x = 0, o que implica que 0 é o único ponto fixo de g em R. Se existir uma f tal que f(f(x)) = g(x), então, pelo Lema 1, x = 0 é ponto fixo de f. Se f for diferenciável, então, pelo Lema 2, g é diferenciável em 0 com g'(0) >= 0. Mas como g'(0) = - cos(0) = -1, temos uma contradição que mostra que esta f diferenciável não existe. Se houver uma f tal que f(f(x)) = -sen(x) para todo real x, então esta f não é diferenciável em x = 0. Abraços Artur Costa Steiner Em ter, 31 de jul de 2018 15:11, Israel Meireles Chrisostomo < [email protected]> escreveu: > posta a solução Artur > Abraços > > Em 31 de julho de 2018 14:34, Artur Steiner <[email protected] > > escreveu: > >> Acho este interessante: >> >> Mostre que não existe f: R--> R diferenciável tal que f(f(x)) = -sen(x) >> para todo x. >> >> Artur Costa Steiner >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > -- > Israel Meireles Chrisostomo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
