Então, Se existem os limites laterais, lim f ' (0-) = lim f ' (0+) então, defina q(x) = [f(x) - f(0)]/x. Para todo x<0, existe y1 entre x e 0 tal que f ' (y) = q(x). Analogamente para x>0, existe z1 entre 0 e x tal que f ' (z) = q(x). Defina r(x,0) a distancia de x para 0 Então, seja yn = yn-1 + r(y_n-1,0)/2 e zn = zn-1 + r(z_n-1,0)/2. Tal sequência converge para o 0 com lim yn = 0 = lim zn. Além disso, lim f ' (yn) = L = lim f ' (zn)
Não estou conseguindo concluir. Alguém poderia ajudar? Abraços 2018-04-23 11:25 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa < [email protected]>: > 2018-04-22 22:36 GMT-03:00 Igor Caetano Diniz <[email protected]>: > > Boa noite, > > Gostaria de uma ajuda numa questão. Primeiro saber se pensei > corretamente na > > maneira (1) e se é possível resolver como pensei também na maneira (2). > > Aí vai: > > Questão 5.3.8 do livro do Stephen Abbot, Understanding Analysis: > > > > Assuma que f é contínua em um intervalo que contém o zero e > diferenciável em > > todo ponto diferente de zero. Se lim f ' (x) = L, x->0, prove que f ' (0) > > existe e é igual a L. > > > > O que pensei em fazer: > > > > Pensei em duas maneiras. > > 1)Se o limite existe em 0, então existem os limites laterais, limite a > > esquerda e limite a direita: lim x->0- f ' (x) = L e lim x->0+ f ' (x) = > L. > > Lema: f ' (c) = lim f(c+h)-f(c-h)/2h = lim [ f(c+h)-f(c) +f(c) - f(c-h) > ]/2h > > = 1/2 lim x->c-[f(c+h)-f(c)/h] + 1/2 lim x->c+ [f(c+h)-f(c)/h] > > > > Logo como existem esses limites laterais, existe a derivada em 0, e > > portanto, é L > > Cuidado, Igor: a existência do limite [f(c+h) - f(c-h)]/2h quando h -> > 0 não implica que existe a derivada. Por exemplo, se f(x) = |x|, o > limite dá zero, mas a derivada não existe. > > > 2) queria tentar fazer, usando uma sequência xn<0 com limxn = 0 e yn>0 > com > > lim yn = 0 e provar que lim(f(yn)-f(xn)/(yn-xn)) = f'(0) = L. Mas sinto > que > > isso é verdade e não sei provar > > De novo, pelo mesmo exemplo acima, não basta provar que os limites com > um ponto de cada lado dão certo. Acho (só acho) que se *todos* os > limites possíveis derem iguais, então a derivada existe, o que > justifica a sua abordagem, mas daí você teria que provar o enunciado > geral > > "Se f é contínua, e para TODA sequência x_n < 0 < y_n, com x_n -> 0, > y_n ->0, vale que [f(y_n) - f(x_n)]/(y_n - x_n) -> L, então f é > derivável em zero, e f'(0) = L." > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
