2018-04-22 22:36 GMT-03:00 Igor Caetano Diniz <[email protected]>: > Boa noite, > Gostaria de uma ajuda numa questão. Primeiro saber se pensei corretamente na > maneira (1) e se é possível resolver como pensei também na maneira (2). > Aí vai: > Questão 5.3.8 do livro do Stephen Abbot, Understanding Analysis: > > Assuma que f é contínua em um intervalo que contém o zero e diferenciável em > todo ponto diferente de zero. Se lim f ' (x) = L, x->0, prove que f ' (0) > existe e é igual a L. > > O que pensei em fazer: > > Pensei em duas maneiras. > 1)Se o limite existe em 0, então existem os limites laterais, limite a > esquerda e limite a direita: lim x->0- f ' (x) = L e lim x->0+ f ' (x) = L. > Lema: f ' (c) = lim f(c+h)-f(c-h)/2h = lim [ f(c+h)-f(c) +f(c) - f(c-h) ]/2h > = 1/2 lim x->c-[f(c+h)-f(c)/h] + 1/2 lim x->c+ [f(c+h)-f(c)/h] > > Logo como existem esses limites laterais, existe a derivada em 0, e > portanto, é L
Cuidado, Igor: a existência do limite [f(c+h) - f(c-h)]/2h quando h -> 0 não implica que existe a derivada. Por exemplo, se f(x) = |x|, o limite dá zero, mas a derivada não existe. > 2) queria tentar fazer, usando uma sequência xn<0 com limxn = 0 e yn>0 com > lim yn = 0 e provar que lim(f(yn)-f(xn)/(yn-xn)) = f'(0) = L. Mas sinto que > isso é verdade e não sei provar De novo, pelo mesmo exemplo acima, não basta provar que os limites com um ponto de cada lado dão certo. Acho (só acho) que se *todos* os limites possíveis derem iguais, então a derivada existe, o que justifica a sua abordagem, mas daí você teria que provar o enunciado geral "Se f é contínua, e para TODA sequência x_n < 0 < y_n, com x_n -> 0, y_n ->0, vale que [f(y_n) - f(x_n)]/(y_n - x_n) -> L, então f é derivável em zero, e f'(0) = L." Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
