Mas a existência de um período fundamental (o menor real positivo T tal que f(x) = f(x+T) para todos x, x + T no domínio de f) não é o que define uma função periódica não-constante (contínua ou não)?
2018-04-14 13:03 GMT-03:00 Pedro Angelo <[email protected]>: > Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei > provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de > que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período > fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não > apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos > racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há > período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da > função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual > para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à > oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa > oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero, > então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é > contínua em nenhum ponto. > > 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa > <[email protected]>: > > Oi Claudio, > > > > 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara <[email protected]>: > >> f é periódica (digamos, de período T > 0). > >> > >> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P. > >> > >> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) = > >> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==> > >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N. > > > > não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é > > múltiplo do período. Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para > > todo a. > > > >> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) - > >> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que > contraria > >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP. > > > > Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o > > limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais > > complicado. Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f > > contínua"... > > > >> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner <[email protected] > >: > >>> > >>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. > Mostre > >>> que g(x) = f(x^2) não é periódica. > >>> > >>> Artur > > > > Abraços, > > -- > > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > ============================================================ > ============= > > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > ============================================================ > ============= > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
