Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero, então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é contínua em nenhum ponto.
2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <[email protected]>: > Oi Claudio, > > 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara <[email protected]>: >> f é periódica (digamos, de período T > 0). >> >> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P. >> >> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) = >> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N. > > não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é > múltiplo do período. Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para > todo a. > >> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) - >> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que contraria >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP. > > Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o > limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais > complicado. Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f > contínua"... > >> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner <[email protected]>: >>> >>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre >>> que g(x) = f(x^2) não é periódica. >>> >>> Artur > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
