Obrigado. Levei meses pra sacar ests prova. Já vi uma com um argumento na linha do seu no Yahoo Answers em Inglês. Mas é bem mais complicada. Vou ver se acho.
Na reta real não vale. É por causa da rigidez que vc mencionou para funções holomorfas. Por exemplo, na reta real é muito complicado dar exemplo de uma função contínua em toda a reta e não diferenciável em ponto nenhum. No plano, é muito simples: a função f(z) = conjugado(z) tem estas características. Em nenhum complexo satisfaz às equações de Cauchy Riemman. Abraços Artur Artur Costa Steiner Em Sex, 30 de mar de 2018 08:36, Claudio Buffara <[email protected]> escreveu: > Beleza! Como dizia Einstein, tudo deve ser o mais simples possível, mas > não mais simples. > E a minha tentativa foi simples demais. > > Gostei da ideia (obvia em retrospecto): f é afim <==> f' é constante. E, é > claro (também em retrospecto), as ubíquas estimativas de Cauchy... > > Valeu, Artur! > > *** > > Ainda assim, será que há alguma demonstração direta (sem usar a fórmula > integral de Cauchy) de: > SE f(z) é expressa por uma série de Taylor convergente em todo ponto E f é > uniformemente contínua, ENTÃO f é afim ? > > Na reta isso não é verdade. Tome x --> sen(x), por exemplo. > > []s, > Claudio. > > > 2018-03-29 23:40 GMT-03:00 Artur Costa Steiner <[email protected]>: > >> Se f for uniformemente contínua, podemos escolher d > 0 tal que |f(w) - >> f(z)| < 1 para todos w e z com |w - z| < d. Fixando-se arbitrariamente z e >> definindo-se g(w) = f(w) - f(z), obtemos uma função inteira e limitada por >> 1 no disco fechado de raio d e centro em z. Pelas estimativas de Cauchy, >> temos então que |g’(z| <= 1/d, o que, pela definição de g, leva a que >> |f’(z)| <= 1/d. Como z é arbitrário e d independe de z, concluímos que f’ é >> limitada (por 1/d) em todo o plano complexo. >> >> Como derivadas de funções inteiras são inteiras, segue-se do teorema de >> Liouville que f’ é constante, o que, por sua vez, implica que f seja um >> mapeamento afim. >> >> Artur >> >> Enviado do meu iPad >> >> Em 29 de mar de 2018, à(s) 10:03 PM, Bernardo Freitas Paulo da Costa < >> [email protected]> escreveu: >> >> > 2018-03-29 21:17 GMT-03:00 Claudio Buffara <[email protected]>: >> >> A função pode ser expressa como uma série de Taylor centrada na >> origem e que >> >> converge em todo o plano (pois é inteira, ou seja, não possui >> singularidades >> >> exceto possivelmente no infinito). >> >> >> >> Assim, f(z) = a_0 + a_1*z + a_2*z^2 + ... >> >> >> >> Mas se algum dos a_k é não-nulo para k > 1, f não poderá ser >> uniformemente >> >> contÃnua. Logo, f(z) = a_0 + a_1*z. >> > >> > Hum, e porque, exatamente? Acho que você gostaria de dizer que a >> > derivada não pode ficar limitada, e por isso f não seria uniformemente >> > contÃnua. Mas não é imediato que "algum a_k != 0" implique que a >> > derivada é ilimitada em alguma sequência... afinal, os outros termos >> > poderiam (poderiam...) compensar, e note que você tem infinitos termos >> > para te ajudar a compensar... >> > >> > Acho que não dá para evitar os teoremas "pesados"... >> > >> > Abraços, >> > -- >> > Bernardo Freitas Paulo da Costa >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> > >> > >> > >> ========================================================================= >> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> > >> ========================================================================= >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
