Beleza! Como dizia Einstein, tudo deve ser o mais simples possível, mas não mais simples. E a minha tentativa foi simples demais.
Gostei da ideia (obvia em retrospecto): f é afim <==> f' é constante. E, é claro (também em retrospecto), as ubíquas estimativas de Cauchy... Valeu, Artur! *** Ainda assim, será que há alguma demonstração direta (sem usar a fórmula integral de Cauchy) de: SE f(z) é expressa por uma série de Taylor convergente em todo ponto E f é uniformemente contínua, ENTÃO f é afim ? Na reta isso não é verdade. Tome x --> sen(x), por exemplo. []s, Claudio. 2018-03-29 23:40 GMT-03:00 Artur Costa Steiner <[email protected]>: > Se f for uniformemente contínua, podemos escolher d > 0 tal que |f(w) - > f(z)| < 1 para todos w e z com |w - z| < d. Fixando-se arbitrariamente z e > definindo-se g(w) = f(w) - f(z), obtemos uma função inteira e limitada por > 1 no disco fechado de raio d e centro em z. Pelas estimativas de Cauchy, > temos então que |g’(z| <= 1/d, o que, pela definição de g, leva a que > |f’(z)| <= 1/d. Como z é arbitrário e d independe de z, concluímos que f’ é > limitada (por 1/d) em todo o plano complexo. > > Como derivadas de funções inteiras são inteiras, segue-se do teorema de > Liouville que f’ é constante, o que, por sua vez, implica que f seja um > mapeamento afim. > > Artur > > Enviado do meu iPad > > Em 29 de mar de 2018, à(s) 10:03 PM, Bernardo Freitas Paulo da Costa < > [email protected]> escreveu: > > > 2018-03-29 21:17 GMT-03:00 Claudio Buffara <[email protected]>: > >> A função pode ser expressa como uma série de Taylor centrada na > origem e que > >> converge em todo o plano (pois é inteira, ou seja, não possui > singularidades > >> exceto possivelmente no infinito). > >> > >> Assim, f(z) = a_0 + a_1*z + a_2*z^2 + ... > >> > >> Mas se algum dos a_k é não-nulo para k > 1, f não poderá ser > uniformemente > >> contÃnua. Logo, f(z) = a_0 + a_1*z. > > > > Hum, e porque, exatamente? Acho que você gostaria de dizer que a > > derivada não pode ficar limitada, e por isso f não seria uniformemente > > contÃnua. Mas não é imediato que "algum a_k != 0" implique que a > > derivada é ilimitada em alguma sequência... afinal, os outros termos > > poderiam (poderiam...) compensar, e note que você tem infinitos termos > > para te ajudar a compensar... > > > > Acho que não dá para evitar os teoremas "pesados"... > > > > Abraços, > > -- > > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > ============================================================ > ============= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > ============================================================ > ============= > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
