Para determinar #(A e B), o número de pessoas que possuem a doença C é
irrelevante.
Se 90 das 100 possuem A, então o melhor cenário (no qual o número de
pessoas com mabas as doenças é o menor possível) é que dentre as 80 que
possuem B estejam as 10 que não possuem A.
As 80 - 10 = 70 restantes (que possuem B), necessariamente possuirão A
também.
Assim, o valor mínimo de #(A e B) é 70.
Outra pergunta seria: "quantas pessoas, no mínimo, possuem as 3 doenças?"
Raciocínio análogo mostra que, no melhor cenário, 100 - #(A e B) = 100 - 70
= 30 das que possuem C não possuem A e nem B.
Logo, as #C - 30 = 70 - 30 = 40 restantes, que possuem C, necessariamente
possuirão A e B.
Logo, o valor mínimo de #(A e B e C) é 40.
Caso geral: #(A ou B ou C) = 100, #A = a, #B = b e #C = c.
A ideia é raciocinar por analogia com o caso particular acima.
Se a + b <= 100, então o melhor cenário é aquele em que ninguém sofre de A
e B ao mesmo tempo ==> #(A e B) = 0.
Se a + b > 100, então, no melhor caso, dentre as b que possuem B estarão as
100 - a que não possuem A.
As b - (100 - a) restantes possuirão ambas.
Logo, o valor mínimo de #(A e B) é b - (100 - a) = a + b - 100.
Quanto ao número de pessoas que sofrem das 3 doenças, o melhor cenário é
aquele em que 100 - #(A e B) = 100 - (a + b - 100) = 200 - (a + b) das que
possuem C não possuem A nem B.
As c - (200 - (a + b)) = a + b + c - 200 restantes, que possuem C,
necessariamente possuirão A e B.
Logo, o valor mínimo de #(A e B e C) é a + b + c - 200.
Prosseguindo desta forma, chega-se à fórmula geral.
A1, ..., Ak com a_1, , a_k elementos, respectivamente ==>
valor mínimo de #(A1 e ... e Ak) = max{0, a_1 + ... + a_k - (k-1)*100}
[]s,
Claudio.
2018-02-25 13:20 GMT-03:00 Thiago Póvoa <[email protected]>:
> Bom Dia.
>
>
> Encontrei uma questão aparentemente fácil, mas que não consegui uma
> solução geral.
>
> Dados 3 conjuntos A, B e C, conhecemos #(A), #(B), #(C) e #(A ou B ou C).
> Como encontrar um limitante inferior para alguma interseção dupla, por
> exemplo, #(A e B)?
>
> Um exemplo de problema com dados numéricos que tirei do livro "Problemas
> Selecionados de Matemática VOL I": Num grupo de 100 pessoas, 90 possuem a
> doença A, 80 a doença B e 70 a doença C. Quantas pessoas, no mínimo,
> possuem as doenças A e B?
>
> Eu não consegui utilizar a desigualdade de Bonferroni, pois ela só me dá
> um valor mínimo para #(A e B e C). Também tentei utilizar o Princípio da
> Inclusão-Exclusão, mas não consegui concluir nada efetivo, pois ele só me
> permite trabalhar com a soma das 3 interseções 2 a 2, e não com cada uma
> delas individualmente.
>
> Enfim, agradeço se alguém tiver alguma ideia para uma solução geral.
>
>
>
> Abraços,
> Thiago Póvoa.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
