Boa tarde! Um outro modo.
111...111= 10^(n-1) + 10(n-2)+ ... + 10^1 + 10^0 10 = 1 mod 9 ==> 10^m = 1 mod 9, m natural. 81 | 111111...11 ==> 9 | 111>>111 ==> 1 + 1 + 1 ... +1 + 1 = n = 0 mod 9. o menor n >0 que atende é 9 e a seguir seus múltiplos. 111.111.111 : 9 = 12345679 O número x procurado é da forma1111111111..111111 com 9 k algarismos x/9 = 1234567912345679...12345679 com k repetições. 9 | x/9 ==> 81 | x. 9 | x/9 ==> x/9 = 10^(8k-1) + 2*10^(8k-2)+3*10^(8k-3) + 4*10(8k-4) + 5*10^(8k-5) + 6*10^(8k-6) + 7*10^(8k-7) + 9*10^(8(k-1)) + 10^(8(k-1)-1) +.... + 1*10^7 + 2*10^6 + 3*10^5 + 4*10^4 + 5* 10^3 + 6*10^2 + 7*10 +9 = k*37 = 0 mod9 ==> k= 9a; a>o e a natural. 81| 1111...111 com 81a algarismos, com a natural e a> 0. Saudações, PJMS Em 13 de fevereiro de 2017 10:48, Pedro José <[email protected]> escreveu: > Bom dia! > > x = 11111...111 (81 algarismos) > > x= (10^81-1)/9 > > 81 | x ==> 3^6 | 10^81 -1 ==> 10^81 = 1 mod 3^6 > > a = 1 mod 3^6 ==> a = 1 mod 3^3. > > Achando ord2710, ou seja, o menor natural d <> 0 onde 10^d = 1 mod 27. > > Como ord2710 | φ(27)=18; possíveis candidatos: 1, 2, 3, 6,9 , 18. > > 1 não; 2 não e 3 sim pois 27 | 999. > > 10^3 <> 1 mod 3^6. > > 10^3 = 1 mod 27 ==> 10^3 = K.27 +1 > > O menor número m de algarismos 111...11 que divide 81 tem de ser múltiplo > de 3 e qualquer múltiplo k de m também implica que 111...11 com k > algarismos divide 81. > > (10^3)^b = 1 mod 3^6 > > (k27 +1 )^b = (0,b)* (27k)^b +(1,b)* (27k)^(b-1) +....+ (b-1,b)*27 + 1 = 1 > mod 3^6, onde (m,n) é o numero combinatório de n m a m. > > Só sobram (b-1,b)*27 +1 = 1 mod 3^6 ==> 27b = 0 mod 3^6 ==> b = 27 ==> m > =81. > > Então qualquer sequência de algarismos 11111..111 com k algarismos e 81 | > k, será divisível por 81. > > Saudações, > PJMS > > > Em 12 de fevereiro de 2017 23:31, Bernardo Freitas Paulo da Costa < > [email protected]> escreveu: > >> 2017-02-12 21:55 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges >> <[email protected]>: >> > Mostre que 111...11(81 uns) é múltiplo de 81 >> >> Vou fazer (na marra) com 3 uns. Você adapta para 81 = 3^4 uns, é igual: >> >> 1) Note que 111 = 999/9 = (10^3 - 1)/9 >> 2) Para mostrar que 111 é divisível por 3, "basta" mostrar que (10^3 - >> 1) é divisível por 27. >> 3) 10^2 = 100 = 3*30 + 10 == 3*3 + 10 = 19 mod 27 >> 4) 10^3 == 10*19 = 190 = 10 + 180 = 10 + 6*30 == 10 + 6*3 = 28 == 1 mod 27 >> >> (Sugestão para calcular 10^81: calcule 10^5, depois eleve ao quadrado >> até chegar em 10^80, e no final multiplique por 10) >> >> >> Se você quiser provar o caso geral (3^n "uns" é divisível por 3^n) >> você na verdade vai ter que provar que 10^(3^n) - 1 é *exatamente* >> divisível por 3^(n+2), por indução. >> >> Abraços, >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
