Bom dia! x = 11111...111 (81 algarismos)
x= (10^81-1)/9 81 | x ==> 3^6 | 10^81 -1 ==> 10^81 = 1 mod 3^6 a = 1 mod 3^6 ==> a = 1 mod 3^3. Achando ord2710, ou seja, o menor natural d <> 0 onde 10^d = 1 mod 27. Como ord2710 | φ(27)=18; possíveis candidatos: 1, 2, 3, 6,9 , 18. 1 não; 2 não e 3 sim pois 27 | 999. 10^3 <> 1 mod 3^6. 10^3 = 1 mod 27 ==> 10^3 = K.27 +1 O menor número m de algarismos 111...11 que divide 81 tem de ser múltiplo de 3 e qualquer múltiplo k de m também implica que 111...11 com k algarismos divide 81. (10^3)^b = 1 mod 3^6 (k27 +1 )^b = (0,b)* (27k)^b +(1,b)* (27k)^(b-1) +....+ (b-1,b)*27 + 1 = 1 mod 3^6, onde (m,n) é o numero combinatório de n m a m. Só sobram (b-1,b)*27 +1 = 1 mod 3^6 ==> 27b = 0 mod 3^6 ==> b = 27 ==> m =81. Então qualquer sequência de algarismos 11111..111 com k algarismos e 81 | k, será divisível por 81. Saudações, PJMS Em 12 de fevereiro de 2017 23:31, Bernardo Freitas Paulo da Costa < [email protected]> escreveu: > 2017-02-12 21:55 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges > <[email protected]>: > > Mostre que 111...11(81 uns) é múltiplo de 81 > > Vou fazer (na marra) com 3 uns. Você adapta para 81 = 3^4 uns, é igual: > > 1) Note que 111 = 999/9 = (10^3 - 1)/9 > 2) Para mostrar que 111 é divisível por 3, "basta" mostrar que (10^3 - > 1) é divisível por 27. > 3) 10^2 = 100 = 3*30 + 10 == 3*3 + 10 = 19 mod 27 > 4) 10^3 == 10*19 = 190 = 10 + 180 = 10 + 6*30 == 10 + 6*3 = 28 == 1 mod 27 > > (Sugestão para calcular 10^81: calcule 10^5, depois eleve ao quadrado > até chegar em 10^80, e no final multiplique por 10) > > > Se você quiser provar o caso geral (3^n "uns" é divisível por 3^n) > você na verdade vai ter que provar que 10^(3^n) - 1 é *exatamente* > divisível por 3^(n+2), por indução. > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
