Boa tarde! Marcos Martinelli,
p=2 também atende. p=2 ==> S ≡ 1 ≡ -1 (mod 2) atende ao se (p -1)|k então S≡ -1 (modp) se *(p-1) ∤ k então S **≡ 0 (modp)* também é atendido. Pois tomando a negativa da assertiva acima temos: *(p-1) **∤ k e S não é côngruo 0 (mod p)* Como p=2 ==> 1 | k, para todo k Ɛ Z. Então (p-1) ∤ k não pode ser atendido e a negativa e falsa. Portanto *(p-1) ∤ k então S **≡ 0 (modp)* é verdadeira. Não é necessário restringir para p Ɛ |P e p Ɛ 2Z+1. p=2 atende. Saudações, PJMS Em 5 de maio de 2015 11:55, Pedro José <[email protected]> escreveu: > Bom dia! > > Se (p-1) | k, por Euler Fermat temos que todas parcelas são côngruas a 1 > (mod p) e como são (p-1) parcelas a soma será côngrua a (p-1) ≡ -1 (modp) > > Se (p-1) ∤ k. > > Temos que existe q que é uma raiz primitiva de p. Se p é primo. > Se g é raiz primitiva de m então ordm g = Ф(m) -1. > > Pelo lema: se g é raiz primitiva de m então: (Z/mZ)* = {1,g,g^2,...,g^(Ф(m) > -1.)}, ou seja, qualquer côngruo a tal que mdc(a,m) = 1 pode ser escrito > como uma potência de g. Não sei como colaocar a barrinha das classes de > equivalência sobre os elementos de (Z/Zm). > > Portanto: S = 1^k + 2^k +...+(p-1)^k ≡ (1)^k + (g^)^k + (g^2)^k +... +( > g^(Ф(p) -1)^k (mod p) ==> > > ==> S ≡ (1)^k + (g)^k + (g)^(2k) +... +g^((p-2)k) (mod p) > > Multiplicando-se ambos os lados por g^k obtem-se: > > g^k S ≡ g^k ((1)^k + (g)^k + (g)^(2k) +... +g^((p-2)k)) (mod p) > g^k S ≡ g^k + g^2k + g^3k +...+ g^((p-1)k) (mod p) > > Mas por Euler Fermat: g^((p-1)k) ≡ 1 (mod p) ==> g^k S ≡ S (mod p) ==> > S(g^k-1) ≡ 0 (mod p) ==> g^k ≡ 1 (mod p) ou S ≡ 0 (mod p) > > g^k ≡ 1 (mod p), mas como g é raiz primitiva e (p-1) ∤ k ==> absurdo. > logo S≡ 0 (mod p) > > Mais detalhes e demosntrações: > http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf > > Saudações, > PJMS > > > > > > > Em 5 de maio de 2015 09:53, Artur Costa Steiner <[email protected]> > escreveu: > >> Alguém pode ajudar com este? Não consegui chegar lá. >> Mostre que >> >> 1^k + 2^k .... + (p - 1)^k = = -1 (mod p) se if (p -1)|k e == 0 caso >> contrário. >> >> p e k inteiros positivos. == significa congruente a. >> >> Uma sugestão que vi é considerar raízes primitivas. >> >> >> Obrigado. >> >> Artur Costa Steiner >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
