Acredito que devemos ter p primo e diferente de 2 também. Reformulando o
enunciado então:
Sejam k, p naturais, sendo p um primo. Provar que:
i) se k == 0 (mod p - 1) => soma{ t = 1 }_{ p - 1 } t^k == - 1 (mod p); e
ii) se k <> 0 (mod p - 1) => soma{ t = 1 }_{ p - 1 } t^k == 0 (mod p).
Solução:
Vamos usar um resultado importante:
Sejam a, n naturais tais que (a,n) = 1 => a^(fi(n)) == 1 (mod n). Aqui fi é
a função de Euler. Para n primo, temos fi(n) = n - 1 .
Em particular, se n é um número primo p e a não divide p, temos a^(p - 1)
== 1 (mod p) (*).
i) se k == 0 (mod p - 1) => existe M natural tal que k = M*(p - 1) => t^k =
t^[ M*(p - 1)] = [t^(p - 1)]^M. Usando (*): soma{ t = 1 }_{ p - 1 } t^k ==
soma{ t = 1 }_{ p - 1 } [t^(p - 1)]^M == soma{ t = 1 }_{ p - 1 } 1^M == p -
1 == - 1 (mod p).
ii) se k <> 0 (mod p - 1) => existem M, N maturais tais que k = M*(p - 1) +
N e N <> 0 (mod p - 1) => t^k = t^[ M*(p - 1)] * t^N = [t^(p - 1)]^M * t^N.
Usando (*): soma{ t = 1 }_{ p - 1 } t^k == soma{ t = 1 }_{ p - 1 } t^N (mod
p).
Se N > p – 1, podemos aplicar o mesmo argumento, "descendo" até o caso em
que nossa soma passa a ser congruente módulo p a S = soma{ t = 1 }_{ p - 1
} t^k. onde k pertence a {1, ... ,p - 2}.
Como S = 1 + soma{ t = 2 }_{ p - 1 } t^k, podemos perceber que esta nova
soma “varre” todos os valores possíveis do conjunto {2, ... , p - 1} porque
não podemos ter dois ternos t^i e t^j (2 <= t <= p - 1, i > j sem perda de
generalidade) tais que t^i == t^j (mod p). Se assim fosse, teríamos t^(i-j)
== 1 (mod p). Mas como i – j <= p – 3, temos um absurdo (dado (*)). Assim
chegamos à conclusão de que S == 1 + soma{ t = 2 }_{ p - 1 } t = p*(p-1)/2
== 0 (mod p) já que (p – 1) é múltiplo de 2 para p primo diferente de 2.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
