Bom dia!
Atrasado; porém, com outra solução.
n^2 + (n+1)^2 = m^3 ==> 2n^2 + 2n + 1 - m^3 =0
n^2 + n + (1-m^3)/2 = 0
n = (-1 ± Raiz (2m^3-1))/2
n Ɛ Z ==> 2m^3-1 é um quadrado perfeito.
Da primeira equação temos que: m Ɛ 2Z +1 (i)
2m^3 -1 Ɛ 2Z +1. Se é um quadrado perfeito pode ser escrito da forma 4 y(y
+1) +1, y Ɛ Z, pois,
x Ɛ 2Z +1 ==> Ǝ y Ɛ Z | x = 2y + 1 ==> x^2 = 4y^2 + 4y + 1 = 4y (y+1) +1;
(i) ==> Ǝ s Ɛ Z | m = 2s + 1 ==> 2m^3 - 1 = 16s^3 + 24s^2 + 12s + 1 =
= 4s(4s^2+6s+3) + 1.
Para ser quadrado perfeito:
4s(4s^2+6s+3) = 0 (i); pois 1 = 4.0.1 + 1 ou
s + 1 = 4s^2+6s+3 (ii) ou
s = 4s^2+6s+4 (iii)
(i) só aceita s =0 como raiz inteira.
(ii) não aceita raízes inteiras.
(iii) não aceita raízes inteiras.
s=0 ==> m=1 ==> só há solução para m =1 ==> n=0 ou n= -1.
S = {(-1,1) , (0,1)}
Saudações,
PJMS
Em 30 de setembro de 2014 15:04, Pedro José <[email protected]> escreveu:
> Boa tarde!
>
> Só que eu achei as soluções de orelhada. Como 1 é elemento neutro da
> multiplicação se o lado esquerdo fosse 1 haveria raízes.
> Porém não consegui provar que eram as únicas soluções.
> Do jeito que você apresentou ficou claro.
> Bela resolução!
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em 30 de setembro de 2014 13:11, Douglas Oliveira de Lima <
> [email protected]> escreveu:
>
> Olá rabisquei bem esse problema, achei muito legal, olha considerei uma
>> equação xˆ2+yˆ2=zˆ3, e fiz uma jogada parecida com a identidade de
>> fibonacci.
>> Vamos ver se esta equação xˆ2+yˆ2=zˆ3 tem soluções inteiras.
>>
>> Suponha z = a2 + b2 => z3 = a6 + 3a4b2 + 3a2b4 + b6 = a6 + 9a4b2 –
>> 6a4b2 + 9a2b4 – 6a2b4 + b6 =>
>>
>> z3 = (a6 – 6a4b2 + 9a2b4) + (9a4b2 – 6a2b4 + b6)
>>
>> Temos então a identidade: (a3 – 3ab2)2 + (3a2b – b3)2 = (a2 + b2)3
>>
>> Variando a e b temos infinitos valores para x2 + y2 = z3.
>>
>> (1)Agora observe que no seu caso, o n=aˆ3-3abˆ2 e n+1=3aˆ2b-bˆ3, assim
>> resolvendo o sistema teremos (a+b)(3ab+ab-aˆ2-bˆ2)=1 , ou ambos são iguais
>> a 1 , ou ambos são iguais a -1 , bom resolvi os dois, com ambos iguais a 1
>> não teve solução, porém com ambos os fatores iguais a -1 achei solução a=-1
>> e b=0 ou a=0 e b=-1, Assim já temos as soluções que o Pedro encontrou.
>>
>> (2)Se invertermos o caso (1) assim n+1=aˆ3-3abˆ2 e n=3aˆ2b-bˆ3, teremos
>> as mesmas raízes.
>>
>> Com relação a todos os casos supracitados acredito que as únicas soluções
>> são as mesmas do Pedro.
>>
>>
>> Abraços do Douglas Oliveira.
>>
>>
>> Em 29 de setembro de 2014 17:33, Pedro José <[email protected]>
>> escreveu:
>>
>> Boa tarde!
>>>
>>> É complicado mesmo, mas tem de fazer ressalva para n <> 0 e n <> -1;
>>> pois para esses casos há solução (0,1) e (-1,1).
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>> Em 28 de setembro de 2014 22:11, marcone augusto araújo borges <
>>> [email protected]> escreveu:
>>>
>>>
>>>> Desculpem.Tá errado pois delta = 4(2m^3 - 1)
>>>> ------------------------------
>>>> From: [email protected]
>>>> To: [email protected]
>>>> Subject: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
>>>> Date: Sun, 28 Sep 2014 19:16:26 +0000
>>>>
>>>>
>>>> Eu acabei vendo isso : m é ímpar por que o primeiro membro é ímpar.
>>>> 2n^2 + 2n + 1 - m^3 = 0
>>>> Delta = 4(2m^3 + 1)
>>>> 2m^3 + 1 = t^2 => 2m^3 = (t+1)(t-1) => t+1 é par
>>>> 2m^3 = 2k(2k-2) => m^3 = 2k(k-1) => m^3 é par => m é par,uma
>>>> contradição.
>>>>
>>>>
>>>> ------------------------------
>>>> From: [email protected]
>>>> To: [email protected]
>>>> Subject: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
>>>> Date: Sun, 28 Sep 2014 17:24:34 +0000
>>>>
>>>> Mostre que a equação n^2 + (n+1)^2 = m^3 não tem solução,com m e n
>>>> inteiros.
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>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
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