Ola Rogério, Eu conheço 2 soluções para este problema do pentágono :
1) trace as perpendiculares à diagonal EC, de A, ,B D e M (médio). Brinque com os triangulos que surgem..... 2) trace AD e BD, considere P medio de AD e Q medio de BD; agora trabalhe com os triangulos EPM e CQM. Agora, vai um desafio que eu "criei" (adaptei): Considere o hexágono convexo ABCDEF, onde A=C=E= 120 e AB=AF, BC=CD e ED=EF. Determine o ângulo AEC. Se quisermos piorar um pouco as coisas, podemos colocar esse problema do pentágono dentro desse desafio, e pedir para calcular o angulo que é formado pela diferença dos ângulos de 45o, do caso do pentagono, para o ângulo desse problema. Ou seja, para achar o resultado o caboclo teria que resolver 2 problemas "muito bonitinhos" envolvendo ângulo. Abs Felipe Em Quarta-feira, 2 de Julho de 2014 15:33, Rogerio Ponce <[email protected]> escreveu: Ola' Felipe, em relacao ao problema do pentagono que voce descreveu, talvez o enunciado do problema estivesse incompleto, e o artificio de se levar a construcao a uma situacao limite nao pudesse ser usado. Ou seja, teriamos que, primeiramente, provar que o angulo CEM nao depende do comprimento de AB. Claro que para responder a uma questao de multipla escolha, vale o metodo - tambem gosto dessas trapacas! -, mas se fosse uma questao discursiva bem elaborada, certamente o enunciado pediria para provar que o angulo seria constante, independentemente das outras medidas do pentagono. Entao, maos 'a obra! Tente provar que o angulo CEM e' constante (e faca o favor de postar a solucao!) Grande abraco, Rogerio Ponce 2014-06-26 11:30 GMT-03:00 luiz silva <[email protected]>: Pessoal, > >Descobri o seguinte teorema em um EXCELENTE livro de geometria peruano, que um amigo comprou : dado um quadrilátero convexo qqer, construa 4 quadrados "externos" ao mesmo, onde cada lado do quadrilatero seja um dos lados de um dos quadrados. Una os centros dos quadrados opostos. O teorema diz que os segmentos que unem os centros dos quadrados opostos tem a mesma medida e que o angulo entre eles é de 90o.. Ainda não consegui demonstra-lo, porem acho que fiz algo interessante : >- O teorema é válido para qqer media dos lados do quadrilátero. Então, pequemos um dos lados do quadrilátero e dividamos por 2, assim, teremos um novo quadrilátero, mas o teorema ainda é válido, faça o mesmo processo neste mesmo lado, indefinidamente. Quando o número de iterações tender a infinito, a medida de um dos lados do quadrilátero irá tender a zero (um ponto). > >Ou seja, o quadrilátero tenderá a se tornar um triângulo, o quadrado referente a esse lado que foi sendo dividido por dois, torna-se um ponto (o vértice desse triangulo), porém, ainda assim, o teorema ainda será válido; só que agora, ao invés de termos os centros de 4 quadrados, teremos o centro de 3 quadrados e o vértice do traingulo.Eu usei esse mesmo raciocínio para resolver um problema clássico de ângulos : Dado um pentágono ABCDEF, onde EA=ED e E=90; CB=CD e C=90. Calcular o ângulo CEM, onde M é medio de AB.Da mesma forma que acima, fui reduzindo a medida do segmento AB, até o mesmo se tornar um ponto. Quando isso ocorre, os lados se tornam iguais (quadrado), o segmento EM tende a ser congruente a EA e EC tende a ser a diagonal desse quadrado. Ou seja, o ângulo CEM = 45o. >Creio que possamos validar esse método através da geometria analítica: essas “propriedades regulares” (cumprimento, ângulos entre retas) são função das coordenadas dos pontos envolvidos no problema. E essas "propriedades regulares" são descritas por funções contínuas em R. Ainda não fiz, mas acho que não deve ser difícil demonstrar que esses resultados são válidos mesmo quando um dos cumprimentos envolvidos no problema se reduz a zero (a um ponto). >Creio que podemos aplicar esse mesmo método para um problema recente proposto >por um colega, problema este que é uma variação desse problema do pentágono. > >Abs >Felipe >-- >Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
