Pessoal,
Descobri o seguinte teorema em um EXCELENTE livro de geometria peruano,
que um amigo comprou : dado um quadrilátero convexo qqer, construa 4 quadrados
"externos" ao mesmo, onde cada lado do quadrilatero seja um dos lados
de um dos quadrados. Una os centros dos quadrados opostos. O teorema diz que os
segmentos que unem os centros dos quadrados opostos tem a mesma medida e que o
angulo entre eles é de 90o.. Ainda não consegui demonstra-lo, porem acho que
fiz algo interessante :
- O teorema é válido para qqer media dos lados do quadrilátero. Então,
pequemos um dos lados do quadrilátero e dividamos por 2, assim, teremos um novo
quadrilátero, mas o teorema ainda é válido, faça o mesmo processo neste mesmo
lado, indefinidamente. Quando o número de iterações tender a infinito, a medida
de um dos lados do quadrilátero irá tender a zero (um ponto).
Ou seja, o quadrilátero
tenderá a se tornar um triângulo, o quadrado referente a esse lado que foi
sendo dividido por dois, torna-se um ponto (o vértice desse triangulo), porém,
ainda
assim, o teorema ainda será válido; só que agora, ao invés de termos os centros
de 4 quadrados, teremos o centro de 3 quadrados e o vértice do traingulo.Eu
usei esse mesmo raciocínio para resolver um problema clássico de
ângulos : Dado um pentágono ABCDEF, onde EA=ED e E=90; CB=CD e C=90. Calcular o
ângulo CEM, onde M é medio de AB.Da mesma forma que acima, fui reduzindo a
medida do segmento AB, até o
mesmo se tornar um ponto. Quando isso ocorre, os lados se tornam iguais
(quadrado), o segmento EM tende a ser congruente a EA e EC tende a ser a
diagonal
desse quadrado. Ou seja, o ângulo CEM = 45o.
Creio que possamos validar esse método através da geometria analítica: essas
“propriedades regulares” (cumprimento, ângulos entre retas) são função das
coordenadas dos pontos envolvidos no problema. E essas "propriedades regulares"
são descritas por funções contínuas em R.
Ainda não fiz, mas acho que não deve ser difícil demonstrar que esses resultados
são válidos mesmo quando um dos cumprimentos envolvidos no problema se reduz a
zero (a um ponto).
Creio que podemos aplicar esse mesmo método para um problema recente proposto
por um colega, problema este que é uma variação desse problema do pentágono.
Abs
Felipe
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