Luís em relação a este teorema, existem 4 formas que conheço de resolve-lo, uma por geometria euclidiana, outra por vetores(que considero a mais elegante), outra por complexos, e outra por trigonometria, vou postar aqui a solução por vetores. Problema 1: Dado o quadrilátero ABCD, considere O1,O2,O3,O4 os centros dos quadrados externos que voce citou no teorema, agora tome os pontos médios de AB, BC, CD, DA senos respectivamente M,S,P,R, trace a diagonal BD e tome seu ponto médio igual a N, agora observe a soma dos vetores O1R+RN+NS+SO3=O1O3, e analogamente O2M+MN+NP+PO4=O2O4, vai perceber ainda que O1R=RD=AR=MN, e o mesmo para os outros três lados assim os quatro vetores da primeira soma possuem módulos iguais aos quatro vetores da segunda soma e são perpendiculares assim IO2O4I=IO1O3I e são perpendiculares.
Problema 2: O problema do pentágono também possui solução parecida, conheço três também, uma por geometria euclidiana, outra por vetores e outra por complexos, desta vez vou fazer por geometria euclidiana. Neste problema voce colocou um F que não existe, mas isso não importa, vamos lá, trace ER sendo R médio de AD, assim, ER=DR=RA, trace CS sendo S médio de BD, assim CS=DS=BS, e ainda ER=DR=RA=SM e CS=DS=BS=RM, é fácil ver por paralelismo que MSB=SMR=MRA=d e chamando de a e b os ângulos SMC e SCM respectivamente vai perceber que a+b+d=90 e que os triângulos SMC e REM são congruentes por LAL assim o triângulo EMC será retângulo isósceles. Estou de acordo com o que o Rogério Ponce disse, numa prova objetiva vale muito sim , e o problema que postei é sim uma boa variação deste do pentágono , mas a solução que consegui até agora foi por complexos e vetores, ainda não encontrei uma por trigonometria e nem geometria euclidiana, de vez em quando eu tento(quando me sobra tempo) caso consiga eu posto a solução com certeza. Abraços do Douglas Oliveira. Em 2 de julho de 2014 15:05, Rogerio Ponce <[email protected]> escreveu: > Ola' Felipe, > em relacao ao problema do pentagono que voce descreveu, talvez o enunciado > do problema estivesse incompleto, e o artificio de se levar a construcao a > uma situacao limite nao pudesse ser usado. > Ou seja, teriamos que, primeiramente, provar que o angulo CEM nao depende > do comprimento de AB. > > Claro que para responder a uma questao de multipla escolha, vale o metodo > - tambem gosto dessas trapacas! -, mas se fosse uma questao discursiva bem > elaborada, certamente o enunciado pediria para provar que o angulo seria > constante, independentemente das outras medidas do pentagono. > > Entao, maos 'a obra! > Tente provar que o angulo CEM e' constante (e faca o favor de postar a > solucao!) > > Grande abraco, > Rogerio Ponce > > > > 2014-06-26 11:30 GMT-03:00 luiz silva <[email protected]>: > > Pessoal, >> >> Descobri o seguinte teorema em um EXCELENTE livro de geometria peruano, >> que um amigo comprou : dado um quadrilátero convexo qqer, construa 4 >> quadrados "externos" ao mesmo, onde cada lado do quadrilatero seja um dos >> lados de um dos quadrados. Una os centros dos quadrados opostos. O teorema >> diz que os segmentos que unem os centros dos quadrados opostos tem a mesma >> medida e que o angulo entre eles é de 90o.. Ainda não consegui >> demonstra-lo, porem acho que fiz algo interessante : >> - O teorema é válido para qqer media dos lados do quadrilátero. Então, >> pequemos um dos lados do quadrilátero e dividamos por 2, assim, teremos um >> novo quadrilátero, mas o teorema ainda é válido, faça o mesmo processo >> neste mesmo lado, indefinidamente. Quando o número de iterações tender a >> infinito, a medida de um dos lados do quadrilátero irá tender a zero (um >> ponto). >> >> Ou seja, o quadrilátero tenderá a se tornar um triângulo, o quadrado >> referente a esse lado que foi sendo dividido por dois, torna-se um ponto (o >> vértice desse triangulo), porém, ainda assim, o teorema ainda será válido; >> só que agora, ao invés de termos os centros de 4 quadrados, teremos o >> centro de 3 quadrados e o vértice do traingulo. >> Eu usei esse mesmo raciocínio para resolver um problema clássico de >> ângulos : Dado um pentágono ABCDEF, onde EA=ED e E=90; CB=CD e C=90. >> Calcular o ângulo CEM, onde M é medio de AB.Da mesma forma que acima, >> fui reduzindo a medida do segmento AB, até o mesmo se tornar um ponto. >> Quando isso ocorre, os lados se tornam iguais (quadrado), o segmento EM >> tende a ser congruente a EA e EC tende a ser a diagonal desse quadrado. Ou >> seja, o ângulo CEM = 45o. >> Creio que possamos validar esse método através da geometria analítica: >> essas “propriedades regulares” (cumprimento, ângulos entre retas) são >> função das coordenadas dos pontos envolvidos no problema. E essas >> "propriedades regulares" são descritas por funções contínuas em R. Ainda >> não fiz, mas acho que não deve ser difícil demonstrar que esses resultados >> são válidos mesmo quando um dos cumprimentos envolvidos no problema se >> reduz a zero (a um ponto). >> Creio que podemos aplicar esse mesmo método para um problema recente >> proposto por um colega, problema este que é uma variação desse problema do >> pentágono. >> >> Abs >> Felipe >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
