Se lim (x --> 0) g(x)/h(x) = L <> 1 no sistema dos reais expandidos, então a resposta é sim.
Utilizando a notação o, a diferenciabilidade de f em a implica que, para todo h tal que a + x permaneça no domínio de f, tenhamos f(a + h) = f(a) + f'(a) h + o(h), sendo o uma função contínua em 0 tal que o(0) = 0 e tal que o(h)/h --> 0 quando h --> 0. Com isto, o seu quociente de Newton generalizado q torna-se q(x) = (f(a) + f'(a) g(x) + o(g(x)) - (f(a) + f'(a) h(x) + o(h(x)))/(g(x) - h(x)) = f'(a) + (o(g(x) - o(h(x))/(g(x) - h(x)) Suponhamos que lim ( x --> 0) g(x)/h(x) = L em R, diferente de 1. Então, existe uma vizinhança deletada de 0 na qual h não se anula e, dividindo o numerador e o denominador por h(x), seu quociente de Newton generalizado pode então ser escrito como q(x) = f'(a) + (o(g(x))/g(x) g(x)/h(x) - o(h(x)/h(x))/(g(x)/h(x) - 1) Assim, lim ( x --> 0) q(x) = f'(a) + (0 . L - 0)/(L - 1) = f'(a) + 0 = f'(a) Bateu!!!!!! Se L = + ou - oo, então lim (x -->0) g(x)/h(x) = 0. Divindindo agora em cima e em baixo por g(x), que não se anula em uma vizinhança deletada de 0, um raciocínio similar ao anterior mostra que bate de novo com f'(a). Mas pode acontecer que L = 1 ou que, quando x --> 0, não exista lim g(x)/h(x). E agora, José? Eu fiz uns testes com L = 1 e bateu, mas não sei se é sempre verdade não. O raciocínio acima não serve para L = 1, pois o denominador tende a 0. E se o limite de g(x)/h(x) não existir em 0, a coisa parece ainda mas complicada. Como o Ralph esquematizou, acho que nestes casos pode dar qualquer coisa. O limite de q pode ser f'(a) como outro valor, como pode nem existir. Abraços Artur Em terça-feira, 24 de junho de 2014, Merryl <[email protected]> escreveu: > Boa noite, amigos. Gostaria de ajuda com isto, > > Seja f uma função de R em R, diferenciável em a. Sejam g e h funções > contínuas em 0 tais que g(0) = h(0) = 0. Suponhamos que exista uma > vizinhança deletada de 0 na qual g - h não se anule. Então, é verdade que > > lim (x --> 0) [f(a + g(x)) - f(a + h(x))]/[g(x) - h(x)] = f'(a) ? > > Não tenho certeza. Este limite tem que existir? Se existir, é de fato > f'(a)? > > Obrigada > > Amanda > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
