272 algarismos.
Em 3 de maio de 2014 20:58, Pedro José <[email protected]> escreveu: > Boa noite! > > Já que foi resolvido. Aqui vai outra solução. > Procurando o menor expoente x > 0 que 7^x ≡ 1 mod 10. > > 7^1 ≡ 7 mod 10. > 7^2 ≡ 9 mod 10. > 7^3 ≡ 9*7 ≡ 3 mod 10. > 7^4 ≡ 9*9 ≡ 1 mod 10. > > Se você conhecer função totiente de Euler. e ordem de a módulo m, onde > mdc(a,m) =1 (que é o menor inteiro d > 0 tal que a^d ≡ 1 mod m e é também o > período mínimo do expoente para repetição das congruências 7^x mod m. Outra > coisa é orda m divide a função totiente de Euler aplicada em m. > como φ(10)= 4 só poderia ser para 1, 2 ou 4. Fica óbvio que seria 4, como > achado por tentativas, anteriormente. > Um outro macete para procurar é que quando achar o primeiro expoente que > dê -1 o dobro desse expoente é orda m. No exemplo de tentativas o 9 ≡ -1 > mod 10. Já podíamos ter inferido que ord7 10 =4. > Outro macete. Quando for buscar a orda m no braço, use sempre o resultado > anterior e multiplique por a para achar a próxima congruência. > > Verificando qual a congruência mod 100 de 7^4 temos: > > 7^4 ≡ 1 mod 100. Então temos que ord7 10 = ord7 100 = 4. > > Vamos verificar para mod1000, temos: > > 7^4 ≡ 801 mod 1000. > Para um número ter resto 1 quando se divide por 1000, necessita ter resto > 1 quando o dividimos por 100, como 4 é ord7 100 e a ordem é o período > mínimo, ord7 1000 será um múltiplo de 4. > > Por tentativas: > > 7^4 ≡ 401 mod 1000. > 7^8 ≡ 401^2 ≡ 801≡ -199 mod 1000. > 7^12 ≡ 401*-199 ≡ 201 mod 1000. > 7^16 ≡ (-199)^2 ≡ 601 mod 1000. > 7^20 ≡ 601*401 ≡ 1 mod 1000. > > Usando a função totiente temos: > > φ(1000)= 400, logo os divisores comuns de 400 e que sejam múltiplos de 4 > são: 4, 8, 16, 20.40, 80, 100, 200 e 400. Dessa feita não ajudou muito. Só > evitaria calcular o 7^12. > > como 9999 = 499*20 + 19 temos que 7^9999 = 7^(20*499 + 19) = > (7^20)^499*7^19 ≡ 1^499*7^19 ≡ 7^19 mod 1000. > > 7^19 ≡ 7^16*7^3 ≡ 601*343 ≡ 143 mod 1000. > > Portanto os últimos três algarismos são 1, 4 e 3 nessa ordem. > > *Problema proposto: Seja um número formado apenas de algarismos 4, ou > seja, 444...444; quantos algarismos no mínimo são necessários para que esse > número seja divísivel* *por *289? > > Saudações > PJMS > > > Em 3 de maio de 2014 02:40, [email protected] > <[email protected]>escreveu: > > Nossa.... bem q tava facil demais. Desculpem, n vi q eram os 3 ultimos. E >> obrigado pela dica do endereco. Tb vou dar uma lida. >> >> Enviado do Yahoo Mail no >> Android<https://br.overview.mail.yahoo.com/mobile/?.src=Android> >> >> ------------------------------ >> * From: * Douglas Oliveira de Lima <[email protected]>; >> * To: * <[email protected]>; >> * Subject: * [obm-l] Re: [obm-l] Outro de congruência módulo m. >> * Sent: * Fri, May 2, 2014 6:16:48 PM >> >> Entao percebi que os dois ultimos digitos das potencias de 7 sao >> periodicos e sempre terminam em 01, 49, 43, 07, assim os digitos das >> centenas com certeza devem ser periodicos tambem. Verifique!! >> Abracos do Douglas Oliveira >> >> >> Em 30 de abril de 2014 16:38, <[email protected]> escreveu: >> >>> Quais os três últimos dígitos de 7^9999?. Sempre agreço muito quem >>> resolve sempre o faço antecipadamente. Obrigado. Abraço. R.O. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
