Boa tarde! Use congruência módulo 1000. Os últimos três algarismos de um número (logicamente com 3 ou mais dígitos) são os mesmos que aparecem no resto da divisão por mil (congruência módulo m). Podemos afirmar que se (a^k) ≡1 mod m (a^k)^n ≡ (a^k) ≡1 mod m, a,k,n,m *Ɛ Z* e k,m >0
Logicamente se a ≡ x mod m^3, a ≡ x modm^2, a ≡ x mod m Basta ver que a ≡ x mod m^3 0<x<m^3 ==> Existe k *Ɛ Z | *a* = *k*m^3 + x* ==>* a= (k*m)*m^2 + x Pelo fechamento da multiplicação em Z*, *temos que: a ≡ x modm^2. Com o mesmo raciocínio você chega nas potências menores. Você tem que pensar assim adoraria saber qual potência, de 7 dá congruente a 1 mod 1000. Seja a^b ≡1 mod 1000. Usando divisão Euclidiana temos que 999 = k*b+r, k,b,r *Ɛ Z *e 0<r<b*.*Portanto podemos escrever 7^999= (7^b)^k*7^r=7^r *. * Como 7^b ≡1 mod 1000, por hipótese temos que (7^b)^k ≡ (1)^k ≡1 mod 1000. Logo 7^999 ≡ 7^r mod 1000. se tivermos sorte de achar um b pequeno temos que r < b, facilita. Primeiramente vá fazendo a potência de 7 até que você ache uma congruente a 1 mod 10. (Se você conhecer ordem, teorema de Euler-Fermat e função totiente de Euler fica mais fácil achar esse valor). Caso contrário mão na massa (i) 7^1 , 7^2, 7^3 7^4, 7^5.... até que você encontre uma potência congruente a 1 mod 10. Digamos x. (ii) Verifique se ela congruente a 1 mod 100. Caso seja pule o passo (iii) (iii) Procure a menor potência múltipla de x (depois explicarei por que) que é congruente a 1 mod 100. 7^(2*x), 7^(3*x),7^(4*x) ..... Digamos y (iv) Verifique se ela já é congruente a 1 mod 1000. Caso seja pule o passo (v) (v) Procure a menor potência múltipla de y (depois explicarei por que, como já dito) que é congruente a 1 mod 100. 7^(2*x), 7^(3*x),7^(4*x) ..... Digamos z. (vi) Calcule o resto de 999 por z e ache a congruência a mod 1000, onde 0< a < 1000. É essa a resposta. É óbvio que se (a^k) ≡1 mod m (a^k)^n ≡ (a^k) ≡1 mod m, a,k,n,m *Ɛ Z* e k,m >0*, * como (a^k)^n = a^(k*n), temos que toda potência de k também é côngruo mod m. Seja s a menor potência de a | a^s ≡1 mod m. Se a^x ≡1 mod m ==> x é mútiplo de s. Vamos mostrar por absurdo> Suponha que exista x e x não seja múltiplo de m. Para m >1, se x não é múltiplo de m ==> Existe k *Ɛ Z | *k*s < x <( k+1)*s Como (k+1)*s - k*s= s ==> x - k*s < s, pois x < (k+1)*s. a^x ≡1 mod m==> a^(k*s + (x-k*s)) ≡1 mod m . Como a^(k*s + (x-k*s))= a^(k*s) * a^(x-k*s) ==> a^(k*s) * a^(x-k*s) ≡1 mod m Como a (k*s) ≡1 mod m ==> a^(x-k*s) ≡1 mod m ==> Existe t = x-k*s | a^t ≡1 mod m Porém t é menor que s, que por suposição é mínimo, absurdo. Dica as potências podem ficar tão grandes que nem as planilhas de Excel suportem. Por exemplo 7^x ≡ 801 mod m 7^(2x) ≡ 801^2 mod m (outra dica se o número for maior que a metade de m, use o complemento de (801- m), no caso m =1000, vale a pena. Lembre que as classes de equivalência conservam, adição, multiplicação e potenciação. Se subtrair m, o resultado permanece na mesma classe de equivalência. 7^2x ≡ 601 mod m 7^3x≡ (601*801) mod m Note que assim você estará multiplicando sempre dois números com módulos inferiores a 1000, o que qualquer lápis e caderno suportam, quanto mais o excel. Mas será que o excel suporta achar o mod 100 de 7^24 por exemplo. Agora mais uma dica, a melhor forma de agradecer é aprender. Você está precisando de estudar teoria dos números. Tem um artigo muito bom: http://www.icmc.usp.br/pessoas/etengan/imersao/imersao.pdf, vale a pena estudá-lo e um artigo vai puxando o outro. Espero que você consiga resolver. Saudações, PJMS Em 2 de maio de 2014 15:16, Douglas Oliveira de Lima < [email protected]> escreveu: > Entao percebi que os dois ultimos digitos das potencias de 7 sao > periodicos e sempre terminam em 01, 49, 43, 07, assim os digitos das > centenas com certeza devem ser periodicos tambem. Verifique!! > Abracos do Douglas Oliveira > > > Em 30 de abril de 2014 16:38, <[email protected]> escreveu: > > Quais os três últimos dígitos de 7^9999?. Sempre agreço muito quem >> resolve sempre o faço antecipadamente. Obrigado. Abraço. R.O. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
