Boa noite! Já que foi resolvido. Aqui vai outra solução. Procurando o menor expoente x > 0 que 7^x ≡ 1 mod 10.
7^1 ≡ 7 mod 10. 7^2 ≡ 9 mod 10. 7^3 ≡ 9*7 ≡ 3 mod 10. 7^4 ≡ 9*9 ≡ 1 mod 10. Se você conhecer função totiente de Euler. e ordem de a módulo m, onde mdc(a,m) =1 (que é o menor inteiro d > 0 tal que a^d ≡ 1 mod m e é também o período mínimo do expoente para repetição das congruências 7^x mod m. Outra coisa é orda m divide a função totiente de Euler aplicada em m. como φ(10)= 4 só poderia ser para 1, 2 ou 4. Fica óbvio que seria 4, como achado por tentativas, anteriormente. Um outro macete para procurar é que quando achar o primeiro expoente que dê -1 o dobro desse expoente é orda m. No exemplo de tentativas o 9 ≡ -1 mod 10. Já podíamos ter inferido que ord7 10 =4. Outro macete. Quando for buscar a orda m no braço, use sempre o resultado anterior e multiplique por a para achar a próxima congruência. Verificando qual a congruência mod 100 de 7^4 temos: 7^4 ≡ 1 mod 100. Então temos que ord7 10 = ord7 100 = 4. Vamos verificar para mod1000, temos: 7^4 ≡ 801 mod 1000. Para um número ter resto 1 quando se divide por 1000, necessita ter resto 1 quando o dividimos por 100, como 4 é ord7 100 e a ordem é o período mínimo, ord7 1000 será um múltiplo de 4. Por tentativas: 7^4 ≡ 401 mod 1000. 7^8 ≡ 401^2 ≡ 801≡ -199 mod 1000. 7^12 ≡ 401*-199 ≡ 201 mod 1000. 7^16 ≡ (-199)^2 ≡ 601 mod 1000. 7^20 ≡ 601*401 ≡ 1 mod 1000. Usando a função totiente temos: φ(1000)= 400, logo os divisores comuns de 400 e que sejam múltiplos de 4 são: 4, 8, 16, 20.40, 80, 100, 200 e 400. Dessa feita não ajudou muito. Só evitaria calcular o 7^12. como 9999 = 499*20 + 19 temos que 7^9999 = 7^(20*499 + 19) = (7^20)^499*7^19 ≡ 1^499*7^19 ≡ 7^19 mod 1000. 7^19 ≡ 7^16*7^3 ≡ 601*343 ≡ 143 mod 1000. Portanto os últimos três algarismos são 1, 4 e 3 nessa ordem. *Problema proposto: Seja um número formado apenas de algarismos 4, ou seja, 444...444; quantos algarismos no mínimo são necessários para que esse número seja divísivel* *por *289? Saudações PJMS Em 3 de maio de 2014 02:40, [email protected] <[email protected]>escreveu: > Nossa.... bem q tava facil demais. Desculpem, n vi q eram os 3 ultimos. E > obrigado pela dica do endereco. Tb vou dar uma lida. > > Enviado do Yahoo Mail no > Android<https://br.overview.mail.yahoo.com/mobile/?.src=Android> > > ------------------------------ > * From: * Douglas Oliveira de Lima <[email protected]>; > * To: * <[email protected]>; > * Subject: * [obm-l] Re: [obm-l] Outro de congruência módulo m. > * Sent: * Fri, May 2, 2014 6:16:48 PM > > Entao percebi que os dois ultimos digitos das potencias de 7 sao > periodicos e sempre terminam em 01, 49, 43, 07, assim os digitos das > centenas com certeza devem ser periodicos tambem. Verifique!! > Abracos do Douglas Oliveira > > > Em 30 de abril de 2014 16:38, <[email protected]> escreveu: > >> Quais os três últimos dígitos de 7^9999?. Sempre agreço muito quem >> resolve sempre o faço antecipadamente. Obrigado. Abraço. R.O. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
