ok mesmo assim valeu mesmo!!
Em 12.03.2014 18:25, Ralph Teixeira escreveu: > Desculpa, eu tive que enviar a mensagem antes de terminar... Ainda há problemas no que eu falei: tem um n^2/2 naquela expressão do x! Então: > > i) Se n for par (n=2k), n^2/2 é inteiro, então n^2-500=4k^2-500 tem que ser divisor de 125000, isto é k^2-125 é divisor de 31250=2.5^6. Os divisores são 1, 5, 125, 625, 3125, 15625, seus dobros e os negativos possíveis -1, -2, -5, -10 e -125 (os outros são negativos demais). Veja quais deles somados com 125 dão quadrados perfeitos e você acha algumas poucas possibilidades.... Estou vendo como possibilidades n=0.... huh... tem mais alguma? > > ii) Se n for ímpar, o que eu escrevi estava errado! Agora, 125000/(n^2-500) tem que ser do tipo "m/2" com m ímpar. Mas não vai dar: n^2-500 é ímpar, então o numerador de 125000/(n^2-500) é par, então não há "1/2" para juntar com o do n^2/2. > > Deve ter um jeito melhor de fazer o caso "x e n ambos inteiros", mas fica para outra. ;) > > Abraço, > Ralph > > 2014-03-12 16:41 GMT-03:00 <[email protected]>: > >> Valeu demais Ralph Teixeira. >> >> Em 12.03.2014 16:18, Ralph Teixeira escreveu: >> >>> Eu entendi que x não é necessariamente inteiro, mas a expressão tem que ser inteira (aliás, um inteiro positivo-ou-nulo, pois é raiz de um troço). Então escrevi algo assim >>> >>> (x^2+1000x)^(1/2)-x = n^2 (onde n pode ser a princípio 0,1,2,3,...) >>> então >>> (x^2+1000x) = (x+n^2)^2 >>> >>> então >>> 1000x=2xn^2+n^4 >>> então >>> x = n^4 / (1000-2n^2) >>> >>> Bom, mas não é bem isso não, pois vê-se que x+n^2 tinha que ser >= 0... O caso n=0 dá x=0 que não ajuda nem atrapalha a soma, então vou supor logo que n é positivo e então: >>> >>> x+n^2 >=0 >>> sse >>> n^4 / (1000-2n^2) + n^2 >=0 >>> sse >>> n^2 (1000 - n^2) / (1000-2n^2) >=0 >>> >>> Esta desigualdade implica em n<raiz(500)=10raiz(5)=22.36... ou n>raiz(1000)=10raiz(10)=31.6.... Em suma, n só pode assumir os seguintes valores: >>> {0,1,2,..., 22} ou {32,33,34,...} >>> >>> Agora, enfim, com estas condições, tanto x+n^2 quando n são positivos, então a equação original >>> ((x^2+1000x)^(1/2)-x)^(1/2)=n >>> >>> é realmente equivalente a >>> x = n^4 / (1000-2n^2) >>> >>> o que pode ser confirmando revertendo os passos da dedução original lá em cima (os "então" viram "sse"). >>> >>> O que você quer agora é achar a soma: >>> >>> SOMATÓRIO (n^4 / (1000-2n^2)) onde n varia de 0 a 22, e depois de 32 a Infinito. >>> >>> Mas essa soma diverge, pois o termo geral não vai para zero! >>> >>> ---///--- >>> >>> Se o enunciado limitar x a ser POSITIVO, então devemos ter 2n^2<1000, isto é, ficam apenas os números de 0 a 22. Então a resposta seria: >>> >>> SOMATÓRIO (n=0 a 22) (n^4 / (1000-2n^2)) >>> >>> Eu tinha esperança de abrir em frações parciais e achar uma soma telescópica, mas >>> >>> n^4 / (1000-2n^2) = -n^2/2 - 250 -125000 / (n^2-500) >>> >>> Os dois primeiros termos são fáceis de somar de 0 a 22, mas o último não fica telescópico não! >>> >>> ---///--- >>> >>> Enfim, se x tiver que ser INTEIRO, então n^2-500 tem que ser divisor de 125000. Argh, sai, mas é horrendo. >>> >>> Abraço, >>> Ralph >>> >>> 2014-03-12 12:53 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <[email protected]>: >>> >>>> 2014-03-11 23:11 GMT-03:00 <[email protected]>: >>>> > Olá , boa noite a todos os amigos da lista, recebi recentemente um problema >>>> > abaixo. >>>> > >>>> > Determinar a soma de todos os valores de x tais que >>>> > ((x^2+1000x)^(1/2)-x)^(1/2) seja inteiro. >>>> >>>> x é inteiro? >>>> >>>> -- >>>> Bernardo Freitas Paulo da Costa >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> ========================================================================= >>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html [1] >>>> ========================================================================= >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. Links: ------ [1] http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
