Valeu demais Ralph Teixeira.
Em 12.03.2014 16:18, Ralph Teixeira
escreveu:
> Eu entendi que x não é necessariamente inteiro, mas a
expressão tem que ser inteira (aliás, um inteiro positivo-ou-nulo, pois
é raiz de um troço). Então escrevi algo assim
>
> (x^2+1000x)^(1/2)-x
= n^2 (onde n pode ser a princípio 0,1,2,3,...)
> então
> (x^2+1000x)
= (x+n^2)^2
>
> então
> 1000x=2xn^2+n^4
> então
> x = n^4 /
(1000-2n^2)
>
> Bom, mas não é bem isso não, pois vê-se que x+n^2
tinha que ser >= 0... O caso n=0 dá x=0 que não ajuda nem atrapalha a
soma, então vou supor logo que n é positivo e então:
>
> x+n^2 >=0
>
sse
> n^4 / (1000-2n^2) + n^2 >=0
> sse
> n^2 (1000 - n^2) /
(1000-2n^2) >=0
>
> Esta desigualdade implica em
n<raiz(500)=10raiz(5)=22.36... ou n>raiz(1000)=10raiz(10)=31.6.... Em
suma, n só pode assumir os seguintes valores:
> {0,1,2,..., 22} ou
{32,33,34,...}
>
> Agora, enfim, com estas condições, tanto x+n^2
quando n são positivos, então a equação original
>
((x^2+1000x)^(1/2)-x)^(1/2)=n
>
> é realmente equivalente a
> x = n^4
/ (1000-2n^2)
>
> o que pode ser confirmando revertendo os passos da
dedução original lá em cima (os "então" viram "sse").
>
> O que você
quer agora é achar a soma:
>
> SOMATÓRIO (n^4 / (1000-2n^2)) onde n
varia de 0 a 22, e depois de 32 a Infinito.
>
> Mas essa soma diverge,
pois o termo geral não vai para zero!
>
> ---///---
>
> Se o
enunciado limitar x a ser POSITIVO, então devemos ter 2n^2<1000, isto é,
ficam apenas os números de 0 a 22. Então a resposta seria:
>
>
SOMATÓRIO (n=0 a 22) (n^4 / (1000-2n^2))
>
> Eu tinha esperança de
abrir em frações parciais e achar uma soma telescópica, mas
>
> n^4 /
(1000-2n^2) = -n^2/2 - 250 -125000 / (n^2-500)
>
> Os dois primeiros
termos são fáceis de somar de 0 a 22, mas o último não fica telescópico
não!
>
> ---///---
>
> Enfim, se x tiver que ser INTEIRO, então
n^2-500 tem que ser divisor de 125000. Argh, sai, mas é horrendo.
>
>
Abraço,
> Ralph
>
> 2014-03-12 12:53 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo
da Costa <[email protected]>:
>
>> 2014-03-11 23:11 GMT-03:00
<[email protected]>:
>> > Olá , boa noite a todos os
amigos da lista, recebi recentemente um problema
>> > abaixo.
>> >
>> >
Determinar a soma de todos os valores de x tais que
>> >
((x^2+1000x)^(1/2)-x)^(1/2) seja inteiro.
>>
>> x é inteiro?
>>
>>
--
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
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>> Esta mensagem foi
verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de
perigo.
>>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html [1]
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