Desculpa, eu tive que enviar a mensagem antes de terminar... Ainda há
problemas no que eu falei: tem um n^2/2 naquela expressão do x! Então:
i) Se n for par (n=2k), n^2/2 é inteiro, então n^2-500=4k^2-500 tem que ser
divisor de 125000, isto é k^2-125 é divisor de 31250=2.5^6. Os divisores
são 1, 5, 125, 625, 3125, 15625, seus dobros e os negativos possíveis -1,
-2, -5, -10 e -125 (os outros são negativos demais). Veja quais deles
somados com 125 dão quadrados perfeitos e você acha algumas poucas
possibilidades.... Estou vendo como possibilidades n=0.... huh... tem mais
alguma?
ii) Se n for ímpar, o que eu escrevi estava errado! Agora, 125000/(n^2-500)
tem que ser do tipo "m/2" com m ímpar. Mas não vai dar: n^2-500 é ímpar,
então o numerador de 125000/(n^2-500) é par, então não há "1/2" para juntar
com o do n^2/2.
Deve ter um jeito melhor de fazer o caso "x e n ambos inteiros", mas fica
para outra. ;)
Abraço,
Ralph
2014-03-12 16:41 GMT-03:00 <[email protected]>:
> Valeu demais Ralph Teixeira.
>
> Em 12.03.2014 16:18, Ralph Teixeira escreveu:
>
> Eu entendi que x não é necessariamente inteiro, mas a expressão tem que
> ser inteira (aliás, um inteiro positivo-ou-nulo, pois é raiz de um troço).
> Então escrevi algo assim
>
> (x^2+1000x)^(1/2)-x = n^2 (onde n pode ser a princípio 0,1,2,3,...)
> então
> (x^2+1000x) = (x+n^2)^2
> então
> 1000x=2xn^2+n^4
> então
> x = n^4 / (1000-2n^2)
>
> Bom, mas não é bem isso não, pois vê-se que x+n^2 tinha que ser >= 0... O
> caso n=0 dá x=0 que não ajuda nem atrapalha a soma, então vou supor logo
> que n é positivo e então:
>
> x+n^2 >=0
> sse
> n^4 / (1000-2n^2) + n^2 >=0
> sse
> n^2 (1000 - n^2) / (1000-2n^2) >=0
>
> Esta desigualdade implica em n<raiz(500)=10raiz(5)=22.36... ou
> n>raiz(1000)=10raiz(10)=31.6.... Em suma, n só pode assumir os seguintes
> valores:
> {0,1,2,..., 22} ou {32,33,34,...}
>
> Agora, enfim, com estas condições, tanto x+n^2 quando n são positivos,
> então a equação original
> ((x^2+1000x)^(1/2)-x)^(1/2)=n
> é realmente equivalente a
> x = n^4 / (1000-2n^2)
> o que pode ser confirmando revertendo os passos da dedução original lá em
> cima (os "então" viram "sse").
>
> O que você quer agora é achar a soma:
>
> SOMATÓRIO (n^4 / (1000-2n^2)) onde n varia de 0 a 22, e depois de 32 a
> Infinito.
>
> Mas essa soma diverge, pois o termo geral não vai para zero!
>
> ---///---
>
> Se o enunciado limitar x a ser POSITIVO, então devemos ter 2n^2<1000, isto
> é, ficam apenas os números de 0 a 22. Então a resposta seria:
>
> SOMATÓRIO (n=0 a 22) (n^4 / (1000-2n^2))
>
> Eu tinha esperança de abrir em frações parciais e achar uma soma
> telescópica, mas
>
> n^4 / (1000-2n^2) = -n^2/2 - 250 -125000 / (n^2-500)
>
> Os dois primeiros termos são fáceis de somar de 0 a 22, mas o último não
> fica telescópico não!
>
> ---///---
>
> Enfim, se x tiver que ser INTEIRO, então n^2-500 tem que ser divisor de
> 125000. Argh, sai, mas é horrendo.
>
> Abraço,
> Ralph
>
>
>
>
>
> 2014-03-12 12:53 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> [email protected]>:
>
>> 2014-03-11 23:11 GMT-03:00 <[email protected]>:
>> > Olá , boa noite a todos os amigos da lista, recebi recentemente um
>> problema
>> > abaixo.
>> >
>> > Determinar a soma de todos os valores de x tais que
>> > ((x^2+1000x)^(1/2)-x)^(1/2) seja inteiro.
>>
>> x é inteiro?
>>
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
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>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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