Quanto ao último, 3) Se x,y,z são números reais não nulos,com x+y+z também não nulo Calcule os valores possíveis da expressão F(x,y,z) = (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz)
Acho que dá para aplicar rearranjo, não? Primeiro, por homogeneidade, supunhetemos que x+y+z=1. Segundo, por simetria, x>=y>=z. Temos x^2+y^2+z^2 >= x^2+yz+zy, afinal basta subtrair: (x^2-x^2) + (y^2-yz) + (z^2-zy) = 0 + y(y-z) + z(z-y) = (z-y)^2 >=0 E também, x^2+yz+zy >= xy+yz+zy Demonstre da mesma forma! Agora, temos que ver os sinais... Em 21/02/14, Tarsis Esau<[email protected]> escreveu: > Bernado, vc tinha razão. resolvendo 2) a resposta é (-33, -33). > > Desenvolvendo 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn, vamos chegar a > > m² -mn + 33m + n² + 33n + 33² = 0 > > Resolvendo em função de n, teremos um delta [(n-33)² - 4.(n² + 33n + 33²)] > = -3n² -6.33n - 3.33², > > Sendo que -3n² -6.33n - 3.33² >=0 > > Estudando o sinal da parábola, temos que a concavidade deve estar voltada > para baixo, assumindo assim um máximo > > O delta desta nova equação é 0 e ela apresenta máximo em n = -33. > Substituindo-se em 2), m = -33. > > > > > > > > 2014-02-21 17:02 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa < > [email protected]>: > >> 2014-02-21 14:24 GMT-03:00 Tarsis Esau <[email protected]>: >> > Fiz a segunda, vou tentar fazer a terceira :) >> > >> > m³ + n³ + 99mn = 33³ >> > >> > (m + n)³ - 3m²n - 3mn² + 99mn = 33³ >> > (m + n)³ - 33³ = 3mn.[(m + n) - 33] >> > [(m +n) - 33].[(m + n)² + (m +n).33 + 33²] = 3mn.[(m+n) - 33] >> > >> > Assim, temos >> > >> > 1) m + n - 33 = 0 >> > >> > e >> >> Deveria ser "ou", mas você agiu como se fosse "ou". Mas isso é menos >> importante que o meu próximo comentário. >> >> > 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn >> > >> > De 1) temos todos os pares (x,y): (0,33); (1,32), ..., (32, 1), (33, >> > 0). >> > Todos os inteiros estão neste intervalo. >> > >> > Uma vez que , caso um m seja maior que 33, o n necessariamente deve ser >> > menor que zero, o que vai contra o enunciado de m.n >=0. >> > >> > Desse modo, não há necessidade de resolver 2). >> >> Claro que há. Pode ser que a equação 2 tenha uma solução com m = 20 e >> n = 10 (sei lá) cuja soma não é 33. Se você tivesse obtido TODOS os >> pares (a,b) com 0<=a<=33, 0 <=b<=33 como solução, aí tava certo. Mas >> veja que essa é uma equação cúbica, portanto para cada "m" existem >> três soluções "n" possíveis. É bastante provável que, se m é inteiro, >> não haja muitas soluções com n inteiro, mas você tem que demonstrar >> isso. Além disso, o enunciado diz que m.n >= 0, ou seja, pode ser que >> m e n sejam NEGATIVOS! (mas talvez o enunciado tenha sido copiado >> errado, e era para ser m E n >= 0). >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- /**************************************/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
