OK. Segunda tentativa. Acho que agora vai.
Deve dar para fazer com menos contas, mas eu nao otimizei nada:
Pela lei dos cossenos:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(A) = b^2 + c^2 - 2bc + 2bc - 2bc cos(A) =
(b-c)^2 + 2bc(1 - cos(A)) (*)
Pela lei dos senos:
a = b sen(A)/sen (B) = c sen(A)/sen(C)
e assim
a^2 = bc sen^2(A) / (sen(B) sen(C)) (**)
Alem disso, tem-se ainda que
b sen(C) = h_a
c sen(B) = h_a
e assim
bc = h_a^2 / (sen(B) sen(C)) (***)
Combinando (**) e (***), tem-se que
a^2 = h_a^2 / (sen(B) sen(C))^2 (****)
Usando (***) e (****) em (*):
h_a^2 / (sen(B) sen(C))^2 = (b-c)^2 + 2 h_a^2 (1 - cos(A)) / (sen(B)
sen(C))
ou equivalentemente
1 / (sen(B) sen(C))^2 = (b-c)^2 / h_a^2 + 2(1 - cos(A)) / (sen(B) sen(C))
(*5)
Assim, fizemos aparecer o termo (b-c)^2 / h_a^2 que eh dado do problema.
Precisamos, porem, escrever o termo (sen(B) sen(C)) em funcao dos dados do
problema
e de sen(B-C) ou cos(B-C), como desejado: No caso, tem-se que
sen(B) sen(C) = (cos(B-C) - cos(B+C)) / 2 = (cos(B-C) - cos(180 - A)) / 2
= (cos(B-C) + cos(A)) / 2 (*6)
Assim, usando (*6) em (*5) voce tem a equacao que descreve cos(B-C) em
funcao dos dados do problema!
Abraco,
sergio
2013/7/17 Sergio Lima <[email protected]>
> Na verdade, eu comi uma mosca enorme:
>
> Como
> c sen(B) = b sen(C) = h_a,
> então
> |b - c| / h_a = |sen(C) - sen(B)| / (sen(B)sen(C)),
> que nao resolve nosso problema
> (depois de muita conta fica um h_a no denominador que nao consegui tirar).
>
> De volta à prancheta...
>
> Abraco,
> sergio
>
>
>
>
> 2013/7/16 Sergio Lima <[email protected]>
>
>> Caro Luís,
>>
>> Como
>> c sen(B) = b sen(C) = h_a,
>> então
>> |b - c| / h_a = |sen(C) - sen(B)|.
>>
>> Logo, usando transformação em produto,
>> |b - c| / h_a = |2sen((C-B)/2) cos((C+B)/2)| = |2sen((C-B)/2)
>> cos((180-A)/2)| = |2sen((C-B)/2) cos(90 - A/2)| = |2sen((C-B)/2) sen (A/2)|
>> e assim
>> |sen((C-B)/2)| = (|b - c| / h_a) / (2 sen(A/2)).
>>
>> Lembrando que
>> cos(2x) = -+ raiz(1 - sen^2(2x)) = 1 - 2sen^2(x),
>> então
>> sen(2x) = -+ raiz(1 - (1 - 2sen^2(x))^2),
>> e assim, tem-se que
>> |sen(C-B)| = raiz(1 - (1 - 2sen^2((C-B)/2))^2),
>> onde sen((C-B)/2) é dado acima.
>>
>> Agora, como o seu interlocutor falou, daí a deduzir a construção...
>>
>> Abraço,
>> sergio
>>
>>
>>
>> On Mon, Jul 1, 2013 at 6:22 PM, Luís Lopes <[email protected]> wrote:
>>
>>> Sauda,c~oes,
>>>
>>> Da mesma lista do anterior.
>>>
>>> [APH]
>>> >In a triangle are given:
>>> > a, A and the ratio |b-c| / h_a = m/n
>>> >
>>> > (where h_a is the altitude from A)
>>> > Prove that it has an Euclidean construction.
>>> > (Ref.: Parartema, Nov. 1939, p.393)
>>>
>>> [Luis]:
>>> > Again, I have no idea.
>>> > May I have a hint ?
>>> > Thanks.
>>>
>>> Dear Luis,
>>>
>>> Whenever we have an angle [so sin(of_that_angle) = sin(of_the_sum_of_
>>> the_other_two)] a good idea is to express the sin or cos
>>> of the difference of the other angles by the data of the
>>> problem.
>>> If the equation we get is of <= 2 degree it is possible
>>> to have an euclidean construction.
>>>
>>> But how to make that construction geometrically is another
>>> story....
>>>
>>> Alguém saberia construir o triângulo dados
>>> a, A and the ratio |b-c| / h_a = m/n ?
>>>
>>> Ou expressar sin(B-C) em função destes dados ?
>>>
>>> Abs,
>>> Luis
>>>
>>>
>>>
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
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