Ola' pessoal, achei conveniente explicar melhor a solucao... Problema: Existem 20 alunos em uma escola. Quaisquer dois deles possui uma avo' em comum. Prove que pelo menos 14 deles possui uma avo' em comum.
Solucao: Seja Antonio um dos 20 alunos. Sejam Maria e Nair suas avos. Portanto, qualquer outro aluno tem uma avo' Maria, ou Nair, ou Maria e Nair simultaneamente. Assim, podemos encaixar cada aluno em um dos grupos A, B e C, definidos da seguinte forma: - grupo A: o aluno tem uma avo' Maria, e uma avo' Nair. - grupo B: o aluno tem uma avo' Maria, e uma outra avo' que nao e' Nair. - grupo C: o aluno tem uma avo' Nair, e uma outra avo' que nao e' Maria. Dessa forma, Antonio pertence ao grupo A, e existem 4 possibilidades: 1) os grupos B e C sao vazios: neste caso, tanto Maria quanto Nair sao avos dos 20 alunos. 2) apenas o grupo C e' vazio: neste caso, Maria e' avo' dos 20 alunos. 3) apenas o grupo B e' vazio: neste caso, Nair e' avo' dos 20 alunos. 4) nenhum grupo e' vazio: neste caso, seja Bernardo um aluno do grupo B, e seja Odete a sua outra avo' ( aquela que nao e' Nair). Acontece que qualquer que seja o aluno "c" do grupo C, "c" e Bernardo possuem uma avo' em comum. Como uma avo' de "c" e' Nair, a outra, aquela que nao pode ser Maria, tem que ser Odete. Portanto, todos os alunos do grupo C sao netos de Odete. Agora, seja Camilo um aluno do grupo C. Entao, conforme acabamos de provar, Camilo tem as avos Nair e Odete. Acontece que qualquer que seja o aluno "b" do grupo B, "b" e Camilo possuem uma avo' em comum. Como uma avo' de "b" e' Maria, a outra, aquela que nao pode ser Nair, tem que ser Odete. Portanto todos os alunos do grupo B sao netos de Odete. Desse modo, apenas 3 mulheres - Maria, Nair e Odete - sao as unicas avos de todos os alunos. Como os 20 alunos possuem ao todo 40 avos, uma das 3 mulheres tem que ser avo' pelo menos 14 vezes, ou seja, tem que ser avo' de pelo menos 14 alunos (principio das casas de pombos). Assim, examinadas as possibilidades, sempre podemos afirmar que pelo menos 14 alunos possuem uma avo' em comum. []'s Rogerio Ponce
