2013/3/13 marcone augusto araújo borges <[email protected]>: > Saja um triângulo cujos lados medem a,b e c e R o raio da circunferência > circunscrita. > Mostre que a^2 + b^2 + c^2 = 8R^2 se,e somente se,o triângulo é retângulo. > > Se o triangulo é retangulo,considerando a < = b < c,temos que a^2 + b^2 = > c^2 > a^2 + b^2 + c^2= 2c^2 e,como c = 2R,segue que > a^2 + b^2 + c^2 = 2.(2R)^2 = 8R^2 > Estou tentando a segunda parte da demonstração e não sai. Eu fiz na marra... Chame os ângulos internos do seu triângulo de A, B, C. Portanto, a = 2R sin(A), b = 2R sin(B), c = 2R sin(C). Note que C = pi - A - B => sin(C) = sin(A+B).
Eleve tudo ao quadrado, cancele 4 R^2, fica: sin^2(A) + sin^2(B) + sin^2(A+B) = 2 1 - sin^2 = cos^2, logo passando os senos pro outro lado sin^2(A+B) = cos^2(A) + cos^2(B) Mas também sin(A+B) = sin(A) cos(B) + sin(B) cos(A), ao quadrado temos sin^2(A) cos^2(B) + 2 sin(A) cos(B) sin(B) cos(A) + sin^2(B) cos^2(A) = cos^2(A) + cos^2(B) Passe de novo termos pro outro lado: 2 sin(A) cos(B) sin(B) cos(A) = cos^2(A) (1 - sin^2(B)) + cos^2(B) (1 - sin^2(A)) = 2 cos^2(A) cos^2(B) Cancele os cossenos sin(A) sin(B) = cos(A) cos(B), ou então cos(A + B) = 0. Como os ângulos estão entre 0 e pi/2 (SPG C é o maior ângulo) a única solução é A + B = pi/2. Deve dar para fazer por desigualdades também... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
