Um equívoco no outro email. As raízes não triviais positivas estão em (1, e). Também em (0, e), claro, mas o importante é que estão em (1, e).
Artur Costa Steiner Em 04/03/2013, às 09:26, Artur Costa Steiner <[email protected]> escreveu: > Analisando a função f(x) = ln(x)/x para x >= 1, podemos mostrar que, com > exceção de n = 2, as raízes não triviais positivas estão em (0, e), que > contém um único inteiro, o 2. 2 está associado a 4, de modo que, para n >= 3, > n diferente de 4, a raiz positiva não trivial não é inteira. > > Seja r_n a esta raiz associada a n. Se r_n for racional, r_n = p/q, p e q > inteiros positivos. Então, > > (r_n)^n = n^(p/q) > r_n = (np)^(1/nq) > > np e nq são inteiros positivos. Conforme sabemos da teoria dos números, se a > e b são inteiros positivos tais que a^(1/b) é racional, então a é uma > potência b perfeita, ou seja, a^(1/b) é inteiro. Logo, concluímos que, > contrariamente ao parágrafo anterior, r_n é inteira. Desta contradição, > deduzimos que r_n é irracional. > > Suponhamos que r_n seja algébrica. Como potência inteiras de algébricos são > algébricas, (r_n)^n é algébrico. n é inteiro >=3, logo é um algébrico > diferente de 0 e de 1. Como r_n não é racional, o teorema de > Gelfond/Schneider implica que n^(r_n) seja transcendente. Assim, (r_n)^n <> > n^(r_n), contrariamente ao fato de que r_n é raiz da equação Assim, (r_n)^n = > n^(r_n). Temos, portanto, que r_n é transcendente. > > Se n for par nossa equação tem raízes negativas. Analisando a função contínua > f(x) = x^n - n^x, vemos que f(0) = -1 e que f(-1) = 1 - 1/n > 0. Logo, há uma > raiz em(-1, 0). Temos que f'(x) = nx^(n - 1) - n^x ln(n). Como n - 1 é ímpar > e ln(n) > 0, para x < 0 temos f'(x) < 0 no eixo negativo, de modo que neste > eixo f é estritamente decrescente. Assim, a raiz em (-1, 0) é única e não é > inteira. O mesmo raciocínio do caso anterior mostra que é transcendente. > > Abraços. > > > Artur Costa Steiner > > Em 03/03/2013, às 20:01, terence thirteen <[email protected]> escreveu: > >> Posso usar Gelfond-Schneider? Ainda não tive ideias mas enfim... >> >> >> Em 11 de fevereiro de 2013 09:34, Artur Costa Steiner >> <[email protected]> escreveu: >>> Mostre que, para todo inteiro n >= 3, n <> 4, as raÃzes positivas não >>> triviais da equação x^n = n^ x são transcendentes. >>> >>> Mostre que, se n for par, há uma única raiz negativa que também é >>> transcendente (inclusive para n = 2 e n = 4). >>> >>> Abraços >>> >>> Artur Costa Steiner >>> ========================================================================= >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> ========================================================================= >> >> >> >> -- >> /**************************************/ >> 神ãŒç¥ç¦ >> >> Torres >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
