Analisando a função f(x) = ln(x)/x para x >= 1, podemos mostrar que, com exceção de n = 2, as raízes não triviais positivas estão em (0, e), que contém um único inteiro, o 2. 2 está associado a 4, de modo que, para n >= 3, n diferente de 4, a raiz positiva não trivial não é inteira.
Seja r_n a esta raiz associada a n. Se r_n for racional, r_n = p/q, p e q inteiros positivos. Então, (r_n)^n = n^(p/q) r_n = (np)^(1/nq) np e nq são inteiros positivos. Conforme sabemos da teoria dos números, se a e b são inteiros positivos tais que a^(1/b) é racional, então a é uma potência b perfeita, ou seja, a^(1/b) é inteiro. Logo, concluímos que, contrariamente ao parágrafo anterior, r_n é inteira. Desta contradição, deduzimos que r_n é irracional. Suponhamos que r_n seja algébrica. Como potência inteiras de algébricos são algébricas, (r_n)^n é algébrico. n é inteiro >=3, logo é um algébrico diferente de 0 e de 1. Como r_n não é racional, o teorema de Gelfond/Schneider implica que n^(r_n) seja transcendente. Assim, (r_n)^n <> n^(r_n), contrariamente ao fato de que r_n é raiz da equação Assim, (r_n)^n = n^(r_n). Temos, portanto, que r_n é transcendente. Se n for par nossa equação tem raízes negativas. Analisando a função contínua f(x) = x^n - n^x, vemos que f(0) = -1 e que f(-1) = 1 - 1/n > 0. Logo, há uma raiz em(-1, 0). Temos que f'(x) = nx^(n - 1) - n^x ln(n). Como n - 1 é ímpar e ln(n) > 0, para x < 0 temos f'(x) < 0 no eixo negativo, de modo que neste eixo f é estritamente decrescente. Assim, a raiz em (-1, 0) é única e não é inteira. O mesmo raciocínio do caso anterior mostra que é transcendente. Abraços. Artur Costa Steiner Em 03/03/2013, às 20:01, terence thirteen <[email protected]> escreveu: > Posso usar Gelfond-Schneider? Ainda não tive ideias mas enfim... > > > Em 11 de fevereiro de 2013 09:34, Artur Costa Steiner > <[email protected]> escreveu: >> Mostre que, para todo inteiro n >= 3, n <> 4, as raÃzes positivas não >> triviais da equação x^n = n^ x são transcendentes. >> >> Mostre que, se n for par, há uma única raiz negativa que também é >> transcendente (inclusive para n = 2 e n = 4). >> >> Abraços >> >> Artur Costa Steiner >> ========================================================================= >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= > > > > -- > /**************************************/ > 神ãŒç¥ç¦ > > Torres > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
