Em um espaço topológico qualquer, dizemos que x é ponto de condensação de um conjunto A se, para toda vizinhança V de x, V inter A não for enumerável. Por exemplo, todos os pontos de um disco fechado em R^2 são pontos de condensação do correspondente disco aberto.
É imediato que todo ponto de condensação é ponto de acumulação. Em R, com a métrica euclidiana, temos ainda os seguintes conceitos correlatos: Dizemos que x é ponto de condensação bilateral de A se, para todo eps > 0, ambos os intervalos (x - eps, x) e (x + eps) tiverem com A interseções não enumeráveis. E dizemos que x é ponto de condensação unilateral de A se, para todo eps > 0, um destes intervalos, mas não ambos, tiver com A interseção não enumerável. Isto é, no caso bilateral, os pontos de A condensam-se à direita e à esquerda de x; e, no caso unilateral, apenas em um dos lados (podemos, se quisermos, definir pontos de condensação à direita e à esquerda). Observamos que, com base nestas definições, pontos de condensação bilaterais não são unilaterais. Estes últimos não são casos particulares dos primeiros. Por exemplo, todo elemento de (0, 1) é ponto de condensação bilateral do mesmo. 0 e 1 são os únicos pontos de condensação unilaterais deste conjunto. No caso, não pertencentes ao conjunto. Temos também que 1 é ponto de condensação bilateral de (0, 1) U (1, 2). Não pertencente à união. A questão é: seja A um subconjunto não enumerável de R. Sejam B o conjunto de seus pontos de condensação bilaterais e U o dos pontos de condensação unilaterais. Mostre que U é enumerável B inter A não é enumerável Os seguintes fatos, válidos em qualquer espaço métrico separável (que contenha um conjunto denso enumerável, como os racionais em R), talvez possam ajudar: Sendo C o conjunto de todos os pontos de condensação do não enumerável A, temos que C inter A não é enumerável C é fechado Todo elemento de C é ponto de condensação de A inter C O conjunto dos elementos de A que não são pontos de condensação do mesmo é, no máximo, enumerável Abraços a todos. Artur Costa Steiner ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
