Bernardo, esta é uma análise muito interessante! Artur Costa Steiner
Em 03/03/2013, às 00:48, Bernardo Freitas Paulo da Costa <[email protected]> escreveu: > 2013/3/2 Artur Costa Steiner <[email protected]>: >> Acho que o critério da integral não se aplica aqui, certo? > Certo. > >> Não podemos afirmar que a sequência é decrescente. > Exatamente. > >> E qual a função que vamos integrar? > Ah, nenhuma. Mas é só pra ver o que vai acontecer... E ele só ajuda > pra primeira, a segunda eu fiz mais ou menos como você. > > Vamos lá. Por um momento, suponha que a análise é sua amiga, e que > nenhum fenômeno feio, chato e com verrugas vai pegar você. Por isso > mesmo, suponha que a_n é decrescente, dada por f(n) onde f é uma > função infinitamente diferenciável, monótona, decrescente. Só pra > deixar fluir as idéias. > > Primeira coisa. Se (Soma a_n) converge, é óbvio que (Soma a_n/s_n) > também converge, porque s_n é pelo menos = a_1 > 0, comparação e > acabou. O difícil é mostrar que se (Soma a_n) diverge, ocorre o mesmo > para (Soma a_n/s_n). Muito bem, vamos nos concentrar no que importa. > > O critério da integral nos diz que temos que (Soma a_n) diverge se, e > somente se, (Integral f, de 0 a infinito) = infinito. Chame, como é de > praxe, F(x) = integral f, de 0 até x. Assim, F(infinito) = infinito. > > Queremos ver que (Soma a_n/s_n) diverge, ou seja, que (Integral f/F) > diverge. Aqui há uma dose maior ainda de fé da nossa parte, afinal de > contas, sabemos muito bem que esse tipo de milagre coincidente (int f > = soma f(n), para poder trocar F(x) por soma a_n = s_n) nunca > acontece. Mas o que importa é que F(n) e s_n são realmente muito > próximas. Ah, sim. Eu também não disse nada quanto à monotonicidade de > f/F. Vamos na fé, como diziam meus colegas jogadores de futebol. > Porque o que importa é que f = F', logo > (Integral f/F) = (Integral F'/F) = log (F). > > Assim, F(infinito) = infinito <=> log(F)(infinito) = infinito, afinal > de contas, log é log. > > Pronto, provamos. Quer dizer, agora a gente acredita que vai dar > certo. E sabemos que a soma a_n/s_n tem a ver com log(s_n). Módulo uns > errinhos, umas aproximações e umas acochambrações, é isso. > > Agora, vamos provar de verdade, mas, como é bem sabido, é muito mais > fácil de provar quando você já sabe por onde ir, e, principalmente, > aonde chegar. > > Queremos achar um log(s_n), mas isso é muito estranho, não tem nada > que parece com log. Um exemplo "simples" nos diz que a intuição está > certa: escolha a_n = 1, s_n = n, as somas parciais são H_n = log(n) + > gamma + errinho. A idéia é que se a_n = f, e s_n = F, para escrever > F'/F temos que ter um F'. E claro que F' = s_n - s_{n-1} = a_n. Note > que a roubação está diminuindo. > > De novo: a_n/s_n = (s_n - s_{n-1})/s_n = 1 - s_{n-1}/s_n. > Mas o problema é que, s_n -> infinito, temos s_{n-1} também, e o que > acontece é que o termo da direita tende a zero, e ficamos sem saber > como estimar. > Foi aqui que o log da resposta me salvou definitivamente. > > Nós queremos achar uma resposta que seja log(s_n). Eu sei fazer > aparecer a_n/s_n com logs, porque é basicamente log(1+a_n/s_n) + > errinho em (a_n/s_n)^2. O problema é que 1 + a_n/s_n não dá nada legal > pra simplificar. Por outro lado, como eu disse na minha mensagem > anterior, log(1 - x) = - (x + x^2/2 + x^3/3 + ...). > Assim, log(1 - a_n/s_n) = - (a_n/s_n + restos) > > Note que todos os termos do resto são positivos. Note também que 1 - > a_n/s_n = s_{n-1}/s_n, como calculamos mais acima. Portanto, do lado > esquerdo temos > log(s_{n-1}/s_n) = - (a_n/s_n + restos) > > Telescópica! Some a esquerda e a direita, você chega em > log(s_1/s_n) = - soma( a_k/s_k + restos , k = 1..n), ou, com termos > positivos, log(s_n/s_1) = soma(a_k/s_k + restos) > > Se s_n -> infinito, temos que a soma da esquerda é infinita. Portanto, > idem para a soma da direita. Ainda precisamos mostrar que os restos > são realmente muito menores do que a_n/s_n para concluir que > soma(a_n/s_n) diverge. Duas coisas podem acontecer. Ou a_n/s_n < 1 - > eps para um certo eps, e para todo n grande, ou a_n/s_n > 1 - eps > infinitas vezes. No segundo caso, é óbvio que a soma de (a_n/s_n) > diverge. No primeiro caso, o resto do logaritmo é menor do que R(eps) > (a_n/s_n)^2, R = soma da PG de razão 1-eps e primeiro termo 1/2, e > assim log(s_n/s_1) = soma(a_k/s_k + restos) < soma(a_k/s_k * (1 + > R(eps)), k=1..n ), e a série "derivada" diverge. Se a_n/s_n for > estupidamente grande (algo tipo a_n = 2^2^n, que dá a_n/s_n -> 1) > temos que a soma será algo como n. Se a_n/s_n for "bem comportadinha", > temos que soma(a_k/s_k, k = 1..n) ~ log(s_n/s_1). Note que "bem > comportadinha" também vale para a_n somável, mas o problema é que > log(s_n/s_1) vai convergir, e daí é uma pena ter o erro. (O erro é > maior nesse caso para k pequeno, portanto até dá pra estimar a > velocidade de convergência comparativa de cada uma delas, mas vai dar > - obviamente - o que a gente espera e já provou na primeira parte: > 1/s_n = d log/dx (s_n). Sempre é legal ver que dois raciocínios dão o > mesmo resultado.) > > Esse é um bom exemplo para explicar convergência uniforme (os restos_k > dada a minha condição x < 1 - eps, para ficar com log(1 - x) > > log(eps)), inclusive porque você tem que inventar *você mesmo* a > condição de uniformidade. Mais uma vez, muito muito muito legal. > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
